ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \frac{3x — 2}{3 — x}$ и $a = 2$;

б) $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}$ и $a = -3$;

в) $f(x) = \frac{2x — 5}{5 — x}$ и $a = 4$;

г) $f(x) = \frac{1}{4(2x — 1)^2}$ и $a = 1$

Уравнение касательной имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x — a),$
где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = \frac{3x — 2}{3 — x}$ и $a = 2$;

$f(a) = \frac{3 \cdot 2 — 2}{3 — 2} = \frac{6 — 2}{1} = 4$;

$f'(x) = \frac{(3x — 2)'(3 — x) — (3x — 2)(3 — x)’}{(3 — x)^2}$;

$$f'(x) = \frac{3(3 — x) — (3x — 2)(-1)}{(3 — x)^2} = \frac{9 — 3x + 3x — 2}{(3 — x)^2} = \frac{7}{(3 — x)^2};$$ $$f'(a) = \frac{7}{(3 — 2)^2} = \frac{7}{1^2} = 7;$$

$y = 4 + 7(x — 2) = 4 + 7x — 14 = 7x — 10$;

Ответ: $y = 7x — 10$.

б) $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}$ и $a = -3$;

$f(a) = \frac{1}{(-3 + 2)^3} = \frac{1}{(-1)^3} = -1$;

Пусть $u = (x + 2)$, тогда $f(x) = \frac{1}{u^3} = u^{-3}$;

$$f'(x) = (u^{-3})’ \cdot (x + 2)’ = -3u^{-4} \cdot 1 = -\frac{3}{u^4} = -\frac{3}{(x + 2)^4};$$ $$f'(a) = -\frac{3}{(-3 + 2)^4} = -\frac{3}{(-1)^4} = -\frac{3}{1} = -3;$$

$y = -1 — 3(x + 3) = -1 — 3x — 9 = -3x — 10$;

Ответ: $y = -3x — 10$.

в) $f(x) = \frac{2x — 5}{5 — x}$ и $a = 4$;

$f(a) = \frac{2 \cdot 4 — 5}{5 — 4} = \frac{8 — 5}{1} = 3$;

$f'(x) = \frac{(2x — 5)'(5 — x) — (2x — 5)(5 — x)’}{(5 — x)^2}$;

$$f'(x) = \frac{2(5 — x) — (2x — 5)(-1)}{(5 — x)^2} = \frac{10 — 2x + 2x — 5}{(5 — x)^2} = \frac{5}{(5 — x)^2};$$ $$f'(a) = \frac{5}{(5 — 4)^2} = \frac{5}{1^2} = 5;$$

$y = 3 + 5(x — 4) = 3 + 5x — 20 = 5x — 17$;

Ответ: $y = 5x — 17$.

г) $f(x) = \frac{1}{4(2x — 1)^2}$ и $a = 1$;

$f(a) = \frac{1}{4(2 \cdot 1 — 1)^2} = \frac{1}{4 \cdot 1^2} = \frac{1}{4}$;

Пусть $u = (2x — 1)$, тогда $f(x) = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{4}u^{-2}$;

$$f'(x) = \frac{1}{4}(u^{-2})’ \cdot (2x — 1)’ = \frac{1}{4}(-2)u^{-3} \cdot 2 = -\frac{1}{u^3} = -\frac{1}{(2x — 1)^3};$$ $$f'(a) = -\frac{1}{(2 \cdot 1 — 1)^3} = -\frac{1}{1^2} = -1;$$

$y = \frac{1}{4} — 1 \cdot (x — 1) = 0,25 — x + 1 = 1,25 — x$;

Ответ: $y = 1,25 — x$.

Общее уравнение касательной к графику функции в точке:

Если дана функция $f(x)$, и нужно найти уравнение касательной к её графику в точке с абсциссой $a$, используем формулу:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $a$;
• $f'(a)$ — значение производной функции в точке $a$, т.е. угловой коэффициент касательной;
• $x$ — переменная в уравнении прямой.

а) $f(x) = \dfrac{3x — 2}{3 — x},\quad a = 2$

Шаг 1: Найдём $f(a) = f(2)$

Подставим $x = 2$ в функцию:

$$f(2) = \frac{3 \cdot 2 — 2}{3 — 2} = \frac{6 — 2}{1} = \frac{4}{1} = 4$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Функция дробная. Применяем правило производной частного:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2},$$

где
$u(x) = 3x — 2$,
$v(x) = 3 — x$

Находим производные:

• $u'(x) = \frac{d}{dx}(3x — 2) = 3$
• $v'(x) = \frac{d}{dx}(3 — x) = -1$

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{3(3 — x) — (3x — 2)(-1)}{(3 — x)^2}$$

Раскрываем скобки:

$$f'(x) = \frac{9 — 3x + 3x — 2}{(3 — x)^2} = \frac{7}{(3 — x)^2}$$

Теперь найдём $f'(2)$:

$$f'(2) = \frac{7}{(3 — 2)^2} = \frac{7}{1^2} = 7$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 4 + 7(x — 2)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 4 + 7x — 14 = 7x — 10$$

Ответ: $y = 7x — 10$

б) $f(x) = \dfrac{1}{(x + 2)^3},\quad a = -3$

Шаг 1: Найдём $f(a) = f(-3)$

$$f(-3) = \frac{1}{(-3 + 2)^3} = \frac{1}{(-1)^3} = \frac{1}{-1} = -1$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Функция — это степенная дробь. Представим в виде:

$$f(x) = (x + 2)^{-3}$$

Производная:

$$f'(x) = -3(x + 2)^{-4} \cdot 1 = -\frac{3}{(x + 2)^4}$$

Теперь найдём $f'(-3)$:

$$f'(-3) = -\frac{3}{(-3 + 2)^4} = -\frac{3}{(-1)^4} = -\frac{3}{1} = -3$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение касательной

$$y = -1 + (-3)(x + 3) = -1 — 3x — 9 = -3x — 10$$

Ответ: $y = -3x — 10$

в) $f(x) = \dfrac{2x — 5}{5 — x},\quad a = 4$

Шаг 1: Найдём $f(4)$

$$f(4) = \frac{2 \cdot 4 — 5}{5 — 4} = \frac{8 — 5}{1} = 3$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

$u(x) = 2x — 5$,
$v(x) = 5 — x$

Производные:

• $u'(x) = 2$
• $v'(x) = -1$

Формула производной частного:

$$f'(x) = \frac{2(5 — x) — (2x — 5)(-1)}{(5 — x)^2}$$

Раскрываем скобки:

$$f'(x) = \frac{10 — 2x + 2x — 5}{(5 — x)^2} = \frac{5}{(5 — x)^2}$$

Находим $f'(4)$:

$$f'(4) = \frac{5}{(5 — 4)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение касательной

$$y = 3 + 5(x — 4) = 3 + 5x — 20 = 5x — 17$$

Ответ: $y = 5x — 17$

г) $f(x) = \dfrac{1}{4(2x — 1)^2},\quad a = 1$

Шаг 1: Найдём $f(1)$

$$f(1) = \frac{1}{4(2 \cdot 1 — 1)^2} = \frac{1}{4 \cdot 1^2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 2: Найдём производную $f'(x)$

Обозначим $u = 2x — 1$, тогда:

$$f(x) = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{4}u^{-2}$$

Находим производную:

$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2)u^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(2x — 1)$$ $$\frac{d}{dx}(2x — 1) = 2$$ $$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2) \cdot u^{-3} \cdot 2 = -\frac{1}{u^3} = -\frac{1}{(2x — 1)^3}$$

Теперь находим $f'(1)$:

$$f'(1) = -\frac{1}{(2 \cdot 1 — 1)^3} = -\frac{1}{1^3} = -1$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение касательной

$$y = \frac{1}{4} + (-1)(x — 1) = \frac{1}{4} — x + 1 = 1.25 — x$$

Ответ: $y = 1{,}25 — x$