ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \geq -3 \\ -2x — 3, & \text{если } x < -3 \end{cases} \quad \text{и} \quad a = -2;$$

б)

$$f(x) = |x^2 — 3x| \quad \text{и} \quad a = 4;$$

в)

$$f(x) = \begin{cases} 4x — x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad a = 1;$$

г)

$$f(x)=x^2-7\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+10\text{и}a=-1$$

Уравнение касательной имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где $a$ — абсцисса точки касания;

а)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \geq -3 \\ -2x — 3, & \text{если } x < -3 \end{cases} \quad \text{и} \quad a = -2;$$

Искомая точка принадлежит функции $f(x) = x^2 + 2x$;

$$f(a) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 — 4 = 0;$$ $$f'(a) = (x^2)’ + (2x)’ = 2x + 2 = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2;$$ $$y = 0 — 2(x + 2) = -2x — 4;$$

Ответ: $y = -2x — 4$.

б)

$$f(x) = |x^2 — 3x| \quad \text{и} \quad a = 4;$$

$$x^2 — 3x \geq 0;$$ $$x(x — 3) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 3;$$

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x, & \text{если } x \leq 0 \text{ или } x \geq 3 \\ 3x — x^2, & \text{если } 0 < x < 3 \end{cases};$$

Искомая точка принадлежит функции $f(x) = x^2 — 3x$;

$$f(a) = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4;$$ $$f'(a) = (x^2)’ — (3x)’ = 2x — 3 = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5;$$ $$y = 4 + 5(x — 4) = 4 + 5x — 20 = 5x — 16;$$

Ответ: $y = 5x — 16$.

в)

$$f(x) = \begin{cases} 4x — x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad a = 1;$$

Искомая точка принадлежит функции $f(x) = 4x — x^2$;

$$f(a) = 4 \cdot 1 — 1^2 = 4 — 1 = 3;$$ $$f'(a) = (4x)’ — (x^2)’ = 4 — 2x = 4 — 2 \cdot 1 = 4 — 2 = 2;$$ $$y = 3 + 2(x — 1) = 3 + 2x — 2 = 2x + 1;$$

Ответ: $y = 2x + 1$.

г)

$$f(x) = x^2 — 7|x| + 10 \quad \text{и} \quad a = -1;$$

По определению модуля числа:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 7x + 10, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 7x + 10, & \text{если } x < 0 \end{cases};$$

Искомая точка принадлежит функции $f(x) = x^2 + 7x + 10$;

$$f(a) = (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 10 = 1 — 7 + 10 = 4;$$ $$f'(a) = (x^2)’ + (7x + 10)’ = 2x + 7 = 2 \cdot (-1) + 7 = -2 + 7 = 5;$$ $$y = 4 + 5(x + 1) = 4 + 5x + 5 = 5x + 9;$$

Ответ: $y = 5x + 9$.

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где:

• $f(x)$ — заданная функция,
• $a$ — значение абсциссы точки касания,
• $f(a)$ — значение функции в точке $a$,
• $f'(a)$ — значение производной функции в точке $a$,
• $y$ — уравнение касательной.

а)

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \geq -3 \\ -2x — 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}, \quad a = -2$$

1. Определяем, к какой ветви функции относится точка $a = -2$:

Условие ветви: $x \geq -3$, тогда $-2 \geq -3$ — да, значит:

$$f(x) = x^2 + 2x$$

2. Находим значение функции в точке $a = -2$:

$$f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 — 4 = 0$$

3. Находим производную функции $f(x) = x^2 + 2x$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) = 2x + 2$$

4. Подставляем $x = -2$ в производную:

$$f'(-2) = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2$$

5. Подставляем в уравнение касательной:

$$y = f(-2) + f'(-2)(x + 2) = 0 + (-2)(x + 2) = -2x — 4$$

Ответ: $\boxed{y = -2x — 4}$

б)

$$f(x) = |x^2 — 3x|, \quad a = 4$$

1. Раскрываем модуль по определению:

Для $f(x) = |x^2 — 3x|$, чтобы убрать модуль, нужно определить знак выражения под модулем:

Рассматриваем выражение:

$$x^2 — 3x \geq 0 \Rightarrow x(x — 3) \geq 0$$

Решаем неравенство методом интервалов:

• Нули: $x = 0$, $x = 3$
• Знаки на интервалах:
  • $x < 0$: оба множителя отрицательны → $+$
  • $0 < x < 3$: $x > 0$, $x — 3 < 0$ → $—$
  • $x > 3$: оба положительны → $+$

Итог:

$$x^2 — 3x \geq 0 \text{ при } x \leq 0 \text{ или } x \geq 3$$

2. Функция без модуля:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 3x, & \text{если } x \leq 0 \text{ или } x \geq 3 \\ 3x — x^2, & \text{если } 0 < x < 3 \end{cases}$$

3. Определяем, к какой ветви относится $a = 4$:

Поскольку $4 \geq 3$, используем ветвь:

$$f(x) = x^2 — 3x$$

4. Вычисляем значение функции:

$$f(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4$$

5. Вычисляем производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 3x) = 2x — 3$$ $$f'(4) = 2 \cdot 4 — 3 = 8 — 3 = 5$$

6. Подставляем в уравнение касательной:

$$y = 4 + 5(x — 4) = 4 + 5x — 20 = 5x — 16$$

Ответ: $\boxed{y = 5x — 16}$

в)

$$f(x) = \begin{cases} 4x — x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}, \quad a = 1$$

1. Проверяем, к какой ветви относится $a = 1$:

Так как $1 \geq 0$, используем:

$$f(x) = 4x — x^2$$

2. Вычисляем значение функции:

$$f(1) = 4 \cdot 1 — 1^2 = 4 — 1 = 3$$

3. Производная функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x — x^2) = 4 — 2x$$ $$f'(1) = 4 — 2 \cdot 1 = 2$$

4. Подставляем в уравнение касательной:

$$y = 3 + 2(x — 1) = 3 + 2x — 2 = 2x + 1$$

Ответ: $\boxed{y = 2x + 1}$

г)

$$f(x) = x^2 — 7|x| + 10, \quad a = -1$$

1. Раскрываем модуль $|x|$:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 — 7x + 10, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 7x + 10, & \text{если } x < 0 \end{cases}$$

2. Определяем ветвь для $a = -1$:

Так как $-1 < 0$, используем:

$$f(x) = x^2 + 7x + 10$$

3. Вычисляем значение функции:

$$f(-1) = (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 10 = 1 — 7 + 10 = 4$$

4. Производная функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 7x + 10) = 2x + 7$$ $$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 7 = -2 + 7 = 5$$

5. Подставляем в уравнение касательной:

$$y = 4 + 5(x + 1) = 4 + 5x + 5 = 5x + 9$$

Ответ: $\boxed{y = 5x + 9}$