ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В какой точке касательная к графику функции у = х² параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1$

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5$

в) $y = \frac{3}{4}x — 2$

г) $y=-x+5$

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты.

Дана функция: $y = x^2$;

$k = y'(x) = (x^2)’ = 2x$;

а) $y = 2x + 1$, то есть $k = 2$;

$2x = 2$, отсюда $x = 1$;

Ответ: $x = 1$.

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5$, то есть $k = -\frac{1}{2}$;

$2x = -\frac{1}{2}$, отсюда $x = -\frac{1}{4}$;

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

в) $y = \frac{3}{4}x — 2$, то есть $k = \frac{3}{4}$;

$2x = \frac{3}{4}$, отсюда $x = \frac{3}{8}$;

Ответ: $x = \frac{3}{8}$.

г) $y = -x + 5$, то есть $k = -1$;

$2x = -1$, отсюда $x = -0.5$;

Ответ: $x = -0.5$.

Теория:

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты (наклоны, $k$) одинаковы.

Для прямой общего вида $y = kx + b$, угловой коэффициент — это число при $x$, то есть $k$.

Для произвольной функции $y = f(x)$ угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой $x$ — это значение производной в этой точке:

$$k = f'(x)$$

Дана функция:

$$y = x^2$$

Найдём её производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

То есть, угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2$ в точке с координатой $x$ равен $2x$.

Теперь приравниваем этот коэффициент к угловому коэффициенту заданной прямой, решаем уравнение и находим $x$ — это и есть точка на графике, в которой касательная параллельна данной прямой.

а) Прямая: $y = 2x + 1$

Определяем угловой коэффициент:

$$k = 2$$

Приравниваем к производной:

$$2x = 2$$

Решаем уравнение:

$$x = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $x = 1$

б) Прямая: $y = -\frac{1}{2}x + 5$

Угловой коэффициент:

$$k = -\frac{1}{2}$$

Приравниваем к производной:

$$2x = -\frac{1}{2}$$

Решаем уравнение:

$$x = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$

в) Прямая: $y = \frac{3}{4}x — 2$

Угловой коэффициент:

$$k = \frac{3}{4}$$

Приравниваем:

$$2x = \frac{3}{4}$$

Решаем:

$$x = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}$$

Ответ: $x = \frac{3}{8}$

г) Прямая: $y = -x + 5$

Угловой коэффициент:

$$k = -1$$

Приравниваем:

$$2x = -1$$

Решаем:

$$x = \frac{-1}{2} = -0.5$$

Ответ: $x = -0.5$

Итоговые ответы:

а) $x = 1$
б) $x = -\frac{1}{4}$
в) $x = \frac{3}{8}$
г) $x = -0.5$