ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В какой точке графика заданной функции у = f(x) касательная параллельна заданной прямой:

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4$

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8$

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7$

г) $f(x)=\frac{5}{4}{x}^4-x^3+6$

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4$

$$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — 3(x^2)’ + (10x — 4)’ = x^2 — 6x + 10$$

$$x^2 — 6x + 10 = 1$$

$$x^2 — 6x + 9 = 0$$ $$(x — 3)^2 = 0$$ $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Ответ: $x = 3$.

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8$

$$k = f'(x) = \frac{1}{4}(x^4)’ — (x^2)’ + (8)’ = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 — 2x + 0 = x^3 — 2x$$

$$x^3 — 2x = 0$$

$$x(x^2 — 2) = 0$$ $$x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = \sqrt{2}, \quad x_3 = -\sqrt{2}$$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_{23} = \pm \sqrt{2}$.

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7$

$$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ + (2x — 7)’ = x^2 — 2x + 2$$

$$x^2 — 2x + 2 = 1$$

$$x^2 — 2x + 1 = 0$$ $$(x — 1)^2 = 0$$ $$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Ответ: $x = 1$.

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6$

$$k = f'(x) = \frac{5}{4}(x^4)’ — (x^3)’ + (6)’ = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 — 3x^2 + 0 = 5x^3 — 3x^2$$

$$5x^3 — 3x^2 = 0$$

$$x^2(5x — 3) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{5} = 0.6$$

Ответ: $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.6$.

Нам дана функция $f(x)$. Мы ищем точки касания, в которых производная $f'(x)$ равна угловому коэффициенту заданной прямой. Это и есть условие параллельности.

Прямые параллельны ⟺ равны их угловые коэффициенты.

а) $f(x) = \frac{x^3}{3} — 3x^2 + 10x — 4$

Шаг 1. Найдём производную $f'(x)$:

Разложим функцию на слагаемые и продифференцируем каждое:

• $\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
• $(-3x^2)’ = -6x$
• $(10x)’ = 10$
• $(-4)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^2 — 6x + 10$$

Шаг 2. Определим угловой коэффициент прямой $y = 3 + x$:

Запишем в виде $y = kx + b$. Здесь:

• $k = 1$

Шаг 3. Приравниваем производную к $k = 1$:

$$x^2-6x+10=1\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow$$

$$x^2 — 6x + 10 = 1 \Rightarrow x^2 — 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x — 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Ответ: $\boxed{x = 3}$

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} — x^2 + 8$

Шаг 1. Найдём производную $f'(x)$:

Разбираем каждое слагаемое:

• $\left( \frac{x^4}{4} \right)’ = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3$
• $(-x^2)’ = -2x$
• $(8)’ = 0$

Получаем:

$$f'(x) = x^3 — 2x$$

Шаг 2. Прямая $y = 0$:

Это горизонтальная прямая ⇒ $k = 0$

Шаг 3. Приравниваем производную к нулю:

$$x^3 — 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = 0}, \quad \boxed{x = \pm\sqrt{2}}$$

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x — 7$

Шаг 1. Найдём производную $f'(x)$:

Раздельно:

• $\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = x^2$
• $(-x^2)’ = -2x$
• $(2x)’ = 2$
• $(-7)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = x^2 — 2x + 2$$

Шаг 2. Угловой коэффициент прямой $y = x — 3$:

Запишем в виде $y = kx + b$:
$k = 1$

Шаг 3. Приравниваем производную к 1:

$$x^2-2x+2=1\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow$$

$$x^2 — 2x + 2 = 1 \Rightarrow x^2 — 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x — 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{x = 1}$

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 — x^3 + 6$

Шаг 1. Найдём производную $f'(x)$:

• $\left( \frac{5}{4}x^4 \right)’ = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^3$
• $(-x^3)’ = -3x^2$
• $(6)’ = 0$

Следовательно:

$$f'(x) = 5x^3 — 3x^2$$

Шаг 2. Угловой коэффициент прямой $y = 2$:

Это горизонтальная прямая ⇒ $k = 0$

Шаг 3. Приравниваем производную к нулю:

$$5x^3-3x^2=0\Rightarrow x^2(5x-3)=0\Rightarrow x=0$$

$$5x^3 — 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(5x — 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad 5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5} = 0.6$$

Ответ:

$$\boxed{x = 0}, \quad \boxed{x = 0.6}$$