ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В какой точке графика заданной функции у = f(x) касательная параллельна заданной прямой:

а) $f(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \cos 3x$;

в) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

г) $f(x) = \sin \frac{x}{2}$

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты:

а) $f(x) = \sin x$;

$k = f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$y = -x$, то есть $k = -1$:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pm (\pi — \arccos 1) + 2\pi n = \pm \pi + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$.

б) $f(x) = \cos 3x$;

$k = f'(x) = (\cos 3x)’ = -3 \sin 3x$;

$y = 0$, то есть $k = 0$:

$$-3 \sin 3x = 0;$$ $$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \text{ отсюда } x = \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{3}$.

в) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

$k = f'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$;

$y = x$, то есть $k = 1$:

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1;$$ $$1 = \cos^2 x;$$ $$\cos x = \pm 1;$$ $$x_1 = \pm \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \pm (\pi — \arccos 1) + 2\pi n = \pm \pi + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi n$.

г) $f(x) = \sin \frac{x}{2}$;

$k = f'(x) = \left( \sin \frac{x}{2} \right)’ = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$;

$y = -1$, то есть $k = 0$:

$$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0;$$ $$\cos \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \pm \arccos 0 + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ отсюда } x = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$.

а) $f(x) = \sin x$

Сравниваем касательную к графику функции с прямой $y = -x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Производная функции показывает угловой коэффициент касательной к графику функции в каждой точке:

$$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$$

Шаг 2: Угловой коэффициент заданной прямой

Прямая $y = -x$ — это прямая с угловым коэффициентом $k = -1$.

Шаг 3: Приравниваем производную к угловому коэффициенту прямой

$$\cos x = -1$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \arccos(-1)$$

Арккосинус $-1$ равен $\pi$. Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому общее решение:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}$$

б) $f(x) = \cos 3x$

Сравниваем касательную к графику функции с прямой $y = 0$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f'(x) = (\cos 3x)’ = -3 \sin 3x$$

Шаг 2: Угловой коэффициент заданной прямой

Прямая $y = 0$ — это горизонтальная прямая. У неё угловой коэффициент равен нулю:

$$k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю

$$-3 \sin 3x = 0$$

Умножение на константу $-3$ не влияет на решение уравнения:

$$\sin 3x = 0$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$3x = \arcsin 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$$

Делим обе части на 3:

$$x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{3}}$$

в) $f(x) = \tg x$

Сравниваем касательную к графику функции с прямой $y = x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Из формулы:

$$f'(x) = (\tg x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 2: Угловой коэффициент заданной прямой

Прямая $y = x$ имеет угловой коэффициент:

$$k = 1$$

Шаг 3: Приравниваем производную к угловому коэффициенту прямой

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$$

Шаг 4: Решим уравнение

Умножим обе части на $\cos^2 x$:

$$1 = \cos^2 x$$

Извлекаем корень:

$$\cos x = \pm 1$$

Шаг 5: Решаем для $\cos x = 1$:

$$x = \arccos(1) + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$$

Шаг 6: Решаем для $\cos x = -1$:

$$x = \arccos(-1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

Итак, общее решение:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

(так как $\pi n$ охватывает как чётные, так и нечётные кратные $\pi$).

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}$$

г) $f(x) = \sin \dfrac{x}{2}$

Сравниваем касательную к графику функции с прямой $y = -1$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f'(x) = \left( \sin \frac{x}{2} \right)’ = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой

Прямая $y = -1$ — это горизонтальная прямая, следовательно:

$$k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю

$$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$\cos \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$\frac{x}{2} = \arccos(0) + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Умножим обе части на 2:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}$$