ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В какой точке графика заданной функции у = f(x) касательная параллельна заданной прямой:

а) $f(x) = \cos^2 x$;

б) $f(x) = \operatorname{arcctg}(x^2)$;

в) $f(x) = \sqrt{\sin x}$;

г) $f(x) = (\arcsin x)^2$

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты.

а) $f(x) = \cos^2 x$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(x) = u^2$;

$k = (u^2)’ \cdot (\cos x)’ = 2u \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x$;

$y = -x + 3$, то есть $k = -1$:

$$-\sin 2x = -1;$$ $$\sin 2x = 1;$$ $$2x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ отсюда } x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $f(x) = \operatorname{arcctg}(x^2)$;

Пусть $u = x^2$, тогда $f(x) = \operatorname{arcctg} u$;

$k = f'(x) = (\operatorname{arcctg} u)’ \cdot (x^2)’ = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{1+x^4}$;

$y = -3$, то есть $k = 0$:

$$-\frac{2x}{1+x^4} = 0;$$ $$2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

в) $f(x) = \sqrt{\sin x}$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$k = f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (\sin x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$;

$y = 5$, то есть $k = 0$:

$$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

г) $f(x) = (\arcsin x)^2$;

Пусть $u = \arcsin x$, тогда $y = u^2$;

$k = f'(x) = (u^2)’ \cdot (\arcsin x)’ = 2u \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$;

$y = -5$, то есть $k = 0$:

$$\frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} = 0;$$ $$\arcsin x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

а) $f(x) = \cos^2 x$

Шаг 1: Вспомним, как берется производная сложной функции

Пусть $u = \cos x$, тогда:

$$f(x) = u^2$$

Применяем правило цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot u’ = 2\cos x \cdot (-\sin x)$$ $$f'(x) = -2 \cos x \sin x$$

По формуле двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow -2 \cos x \sin x = -\sin 2x$$

Итак,

$$k = f'(x) = -\sin 2x$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой $y = -x + 3$

Это прямая с коэффициентом $k = -1$.

Шаг 3: Приравниваем производную к угловому коэффициенту

$$-\sin 2x = -1 \Rightarrow \sin 2x = 1$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$2x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi n}$$

б) $f(x) = \operatorname{arcctg}(x^2)$

Шаг 1: Используем правило цепочки

Пусть $u = x^2$, тогда:

$$f(x) = \operatorname{arcctg}(u)$$

Производная функции $\operatorname{arcctg} u$ равна:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{arcctg} u) = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u’ = -\frac{1}{1+x^4} \cdot 2x = -\frac{2x}{1+x^4}$$ $$k = f'(x) = -\frac{2x}{1+x^4}$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой $y = -3$

Это горизонтальная прямая, значит:

$$k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю

$$-\frac{2x}{1+x^4} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Ответ:

$$\boxed{x = 0}$$

в) $f(x) = \sqrt{\sin x}$

Шаг 1: Правило производной для корня

Пусть $u = \sin x$, тогда:

$$f(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Применим правило производной:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’ = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$$ $$k = f'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$$

Область определения: $\sin x > 0$, иначе корень из отрицательного не определен в ℝ.

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой $y = 5$

Горизонтальная прямая:

$$k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю

$$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель ≠ 0):

$$\cos x = 0 \quad \text{и} \quad \sin x > 0$$

Шаг 4: Решаем $\cos x = 0$

$$x = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Теперь проверим условие $\sin x > 0$. Синус положителен во 1 и 2 четвертях, то есть для:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

и

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{(если } n \text{ чётное)}$$

Но проще записать универсально:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Такой выбор автоматически исключает отрицательные значения синуса.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$

г) $f(x) = (\arcsin x)^2$

Шаг 1: Пусть $u = \arcsin x$, тогда:

$$f(x) = u^2 \Rightarrow f'(x) = 2u \cdot u’ = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 — x^2}}$$ $$k = f'(x) = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 — x^2}}$$

Шаг 2: Угловой коэффициент прямой $y = -5$

Горизонтальная прямая ⇒

$$k = 0$$

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю

$$\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 — x^2}} = 0 \Rightarrow \arcsin x = 0$$

Знаменатель ≠ 0, если $x \in (-1, 1)$, что входит в область определения.

Шаг 4: Решаем уравнение

$$\arcsin x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Ответ:

$$\boxed{x = 0}$$