ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 — х:

а) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 — x$;

б) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 — x$

Дана прямая: $y = 2 — x$, то есть $k = -1$;

а) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 — x$;

$k = \frac{1}{3}(x^3)’ + \frac{5}{2}(x^2)’ — (x)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x — 1 = x^2 + 5x — 1$;

$x^2 + 5x — 1 = -1$;

$x^2 + 5x = 0$;

$x(x + 5) = 0$;

$x = 0$ или $x = -5$;

$a_1 = 0$ и $a_2 = -5$;

Уравнение первой касательной:

$y(a_1) = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^2 — 0 = 0$;

$y'(a_1) = 0^2 + 5 \cdot 0 — 1 = -1$;

$y = 0 — 1(x — 0) = -x$;

Уравнение второй касательной:

$y(a_2) = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2}(-5)^2 + 5 = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} + 5 = \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$;

$y'(a_2) = (-5)^2 + 5 \cdot (-5) — 1 = 25 — 25 — 1 = -1$;

$y = \frac{155}{6} — 1(x + 5) = \frac{155}{6} — x — \frac{30}{6} = \frac{125}{6} — x = 20 \frac{5}{6} — x$;

Ответ: $y = -x$; $y = 20 \frac{5}{6} — x$.

б) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 — x$;

$k = \frac{1}{3}(x^3)’ + (x^2)’ — (x)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x — 1 = x^2 + 2x — 1$;

$x^2 + 2x — 1 = -1$;

$x^2 + 2x = 0$;

$x(x + 2) = 0$;

$x = 0$ или $x = -2$;

$a_1 = 0$ и $a_2 = -2$;

Уравнение первой касательной:

$y(a_1) = \frac{0^3}{3} + 0^2 — 0 = 0$;

$y'(a_1) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 1 = -1$;

$y = 0 — 1(x — 0) = -x$;

Уравнение второй касательной:

$y(a_2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 2 = -\frac{8}{3} + 4 + 2 = \frac{-8 + 12 + 6}{3} = \frac{10}{3}$;

$y'(a_2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) — 1 = 4 — 4 — 1 = -1$;

$y = \frac{10}{3} — 1(x + 2) = \frac{10}{3} — x — \frac{6}{3} = \frac{4}{3} — x = 1 \frac{1}{3} — x$;

Ответ: $y = -x$; $y = 1 \frac{1}{3} — x$.

Прямая:

$$y = 2 — x \Rightarrow k = -1$$

Мы ищем такие точки на графике функции, в которых производная функции равна $-1$, и затем находим уравнение касательной в этих точках.

а) $y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 — x$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$y'(x) = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}x^2 — x \right)’ = \frac{1}{3}(x^3)’ + \frac{5}{2}(x^2)’ — (x)’$$ $$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x — 1 = x^2 + 5x — 1$$

Шаг 2: Приравняем производную к -1

$$x^2 + 5x — 1 = -1$$ $$x^2 + 5x = 0$$ $$x(x + 5) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -5$$

Обозначим:

• $a_1 = 0$
• $a_2 = -5$

Шаг 3: Найдём уравнение касательной в точке $a_1 = 0$

1) Значение функции в этой точке:

$$y(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2} \cdot 0^2 — 0 = 0$$

2) Производная:

$$y'(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 — 1 = -1$$

3) Уравнение касательной:
Формула касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = 0 + (-1)(x — 0) = -x$$

Шаг 4: Найдём уравнение касательной в точке $a_2 = -5$

1) Значение функции в этой точке:

$$y(-5) = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{5}{2} \cdot (-5)^2 — (-5)$$ $$= \frac{-125}{3} + \frac{5}{2} \cdot 25 + 5 = \frac{-125}{3} + \frac{125}{2} + 5$$

Приведём к общему знаменателю (6):

$$= \frac{-250 + 375 + 30}{6} = \frac{155}{6}$$

2) Производная:

$$y'(-5) = (-5)^2 + 5 \cdot (-5) — 1 = 25 — 25 — 1 = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = \frac{155}{6} + (-1)(x + 5)$$ $$= \frac{155}{6} — x — 5 = \frac{155}{6} — x — \frac{30}{6} = \frac{125}{6} — x$$ $$= 20 \frac{5}{6} — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = -x}, \quad \boxed{y = 20 \frac{5}{6} — x}$$

б) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 — x$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$y'(x) = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 — x \right)’ = \frac{1}{3}(x^3)’ + (x^2)’ — (x)’$$ $$= \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x — 1 = x^2 + 2x — 1$$

Шаг 2: Приравняем производную к -1

$$x^2 + 2x — 1 = -1$$ $$x^2 + 2x = 0$$ $$x(x + 2) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2$$

Обозначим:

• $a_1 = 0$
• $a_2 = -2$

Шаг 3: Уравнение касательной в точке $a_1 = 0$

1) Значение функции:

$$y(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 — 0 = 0$$

2) Производная:

$$y'(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 1 = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = 0 + (-1)(x — 0) = -x$$

Шаг 4: Уравнение касательной в точке $a_2 = -2$

1) Значение функции:

$$y(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 — (-2)$$ $$= \frac{-8}{3} + 4 + 2 = \frac{-8 + 12 + 6}{3} = \frac{10}{3}$$

2) Производная:

$$y'(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) — 1 = 4 — 4 — 1 = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = \frac{10}{3} + (-1)(x + 2) = \frac{10}{3} — x — 2 = \frac{10}{3} — x — \frac{6}{3} = \frac{4}{3} — x$$ $$= 1 \frac{1}{3} — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = -x}, \quad \boxed{y = 1 \frac{1}{3} — x}$$