ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 — х:

а) $y = \frac{3x + 7}{x — 3}$;

б) $y = \frac{x + 9}{x + 8}$

Дано прямая: $y = 2 — x$, то есть $k = -1$;

а) $y = \frac{3x + 7}{x — 3}$;

$k = \frac{(3x + 7)'(x — 3) — (3x + 7)(x — 3)’}{(x — 3)^2}$;

$k = \frac{3(x — 3) — (3x + 7)}{(x — 3)^2} = \frac{3x — 9 — 3x — 7}{(x — 3)^2} = -\frac{16}{(x — 3)^2}$;

$-\frac{16}{(x — 3)^2} = -1$;

$16 = (x — 3)^2$, тогда:

$x_1 — 3 = -4$, отсюда $x_1 = -1$;

$x_2 — 3 = 4$, отсюда $x_2 = 7$;

$a_1 = -1$ и $a_2 = 7$;

Уравнение первой касательной:

$y(a_1) = \frac{3 \cdot (-1) + 7}{-1 — 3} = \frac{-3 + 7}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$;

$y'(a_1) = -\frac{16}{(-1 — 3)^2} = -\frac{16}{(-4)^2} = -\frac{16}{16} = -1$;

$y = -1 — 1(x + 1) = -1 — x — 1 = -x — 2$;

Уравнение второй касательной:

$y(a_2) = \frac{3 \cdot 7 + 7}{7 — 3} = \frac{21 + 7}{4} = \frac{28}{4} = 7$;

$y'(a_2) = -\frac{16}{(7 — 3)^2} = -\frac{16}{4^2} = -\frac{16}{16} = -1$;

$y = 7 — 1(x — 7) = 7 — x + 7 = 14 — x$;

Ответ: $y = -x — 2$; $y = 14 — x$.

б) $y = \frac{x + 9}{x + 8}$;

$k = \frac{(x + 9)'(x + 8) — (x + 9)(x + 8)’}{(x + 8)^2}$;

$k = \frac{1(x + 8) — (x + 9)}{(x + 8)^2} = \frac{x + 8 — x — 9}{(x + 8)^2} = -\frac{1}{(x + 8)^2}$;

$-\frac{1}{(x + 8)^2} = -1$;

$1 = (x + 8)^2$, тогда:

$x_1 + 8 = -1$, отсюда $x_1 = -9$;

$x_2 + 8 = 1$, отсюда $x_2 = -7$;

$a_1 = -9$ и $a_2 = -7$;

Уравнение первой касательной:

$y(a_1) = \frac{-9 + 9}{-9 + 8} = \frac{0}{-1} = 0$;

$y'(a_1) = -\frac{1}{(-9 + 8)^2} = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$;

$y = 0 — 1(x + 9) = -x — 9$;

Уравнение второй касательной:

$y(a_2) = \frac{-7 + 9}{-7 + 8} = \frac{2}{1} = 2$;

$y'(a_2) = -\frac{1}{(-7 + 8)^2} = -\frac{1}{1^2} = -\frac{1}{1} = -1$;

$y = 2 — 1(x + 7) = 2 — x — 7 = -x — 5$;

Ответ: $y = -x — 9$; $y = -x — 5$.

Общая информация:

Прямая:

$$y = 2 — x \Rightarrow k = -1$$

Требование: найти такие точки на графике функции, где производная (угловой коэффициент касательной) равна $-1$, а затем записать уравнения касательных.

а) $y = \dfrac{3x + 7}{x — 3}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Это дробь, поэтому используем правило производной частного:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Пусть:

• $u = 3x + 7 \Rightarrow u’ = 3$
• $v = x — 3 \Rightarrow v’ = 1$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{3(x — 3) — (3x + 7)(1)}{(x — 3)^2}$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{3x — 9 — 3x — 7}{(x — 3)^2} = \frac{-16}{(x — 3)^2}$$

Шаг 2: Приравняем производную к -1

$$-\frac{16}{(x — 3)^2} = -1$$

Умножим обе части на $(x — 3)^2$:

$$16 = (x — 3)^2$$

Решим уравнение:

$$x — 3 = \pm 4 \Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = 7$$

Назовем:

• $a_1 = -1$
• $a_2 = 7$

Шаг 3: Первая касательная (в точке $a_1 = -1$)

1) Найдём значение функции:

$$y(-1) = \frac{3 \cdot (-1) + 7}{-1 — 3} = \frac{-3 + 7}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$$

2) Найдём производную:

$$y'(-1) = -\frac{16}{(-1 — 3)^2} = -\frac{16}{16} = -1$$

3) Уравнение касательной:

Формула:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = -1 + (-1)(x + 1) = -1 — x — 1 = -x — 2$$

Шаг 4: Вторая касательная (в точке $a_2 = 7$)

1) Значение функции:

$$y(7) = \frac{3 \cdot 7 + 7}{7 — 3} = \frac{21 + 7}{4} = \frac{28}{4} = 7$$

2) Производная:

$$y'(7) = -\frac{16}{(7 — 3)^2} = -\frac{16}{16} = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = 7 + (-1)(x — 7) = 7 — x + 7 = 14 — x$$

Ответ:

$$\boxed{y = -x — 2}, \quad \boxed{y = 14 — x}$$

б) $y = \dfrac{x + 9}{x + 8}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Используем правило частного:

Пусть:

• $u = x + 9 \Rightarrow u’ = 1$
• $v = x + 8 \Rightarrow v’ = 1$

$$y'(x) = \frac{1 \cdot (x + 8) — (x + 9) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{x + 8 — x — 9}{(x + 8)^2} = -\frac{1}{(x + 8)^2}$$

Шаг 2: Приравняем к -1

$$-\frac{1}{(x + 8)^2} = -1 \Rightarrow \frac{1}{(x + 8)^2} = 1$$

Решим:

$$(x + 8)^2 = 1 \Rightarrow x + 8 = \pm 1 \Rightarrow x_1 = -9, \quad x_2 = -7$$

Обозначим:

• $a_1 = -9$
• $a_2 = -7$

Шаг 3: Первая касательная (в точке $a_1 = -9$)

1) Значение функции:

$$y(-9) = \frac{-9 + 9}{-9 + 8} = \frac{0}{-1} = 0$$

2) Производная:

$$y'(-9) = -\frac{1}{(-1)^2} = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = 0 + (-1)(x + 9) = -x — 9$$

Шаг 4: Вторая касательная (в точке $a_2 = -7$)

1) Значение функции:

$$y(-7) = \frac{-7 + 9}{-7 + 8} = \frac{2}{1} = 2$$

2) Производная:

$$y'(-7) = -\frac{1}{(1)^2} = -1$$

3) Уравнение касательной:

$$y = 2 + (-1)(x + 7) = 2 — x — 7 = -x — 5$$

Ответ:

$$\boxed{y = -x — 9}, \quad \boxed{y = -x — 5}$$