ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 — х:

а) $y = -4\sqrt{x+7}$;

б) $y = \sqrt{1-2x}$

Дано прямая: $y = 2 — x$, то есть $k = -1$;

а) $y = -4\sqrt{x+7}$;

$k = -4(\sqrt{x+7})’ = -4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+7}} = -\frac{2}{\sqrt{x+7}}$;
$-\frac{2}{\sqrt{x+7}} = -1$;
$2 = \sqrt{x+7}$;
$4 = x + 7$, отсюда $a = x = -3$;

Уравнение касательной:
$y(a) = -4\sqrt{-3+7} = -4\sqrt{4} = -4 \cdot 2 = -8$;
$y'(a) = -\frac{2}{\sqrt{-3+7}} = -\frac{2}{\sqrt{4}} = -\frac{2}{2} = -1$;
$y = -8 — 1(x + 3) = -8 — x — 3 = -x — 11$;
Ответ: $y = -x — 11$.

б) $y = \sqrt{1-2x}$;

$k = (\sqrt{1-2x})’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$;
$-\frac{1}{\sqrt{1-2x}} = -1$;
$1 = \sqrt{1-2x}$;
$1 = 1 — 2x$;
$2x = 0$, отсюда $a = x = 0$;

Уравнение касательной:
$y(a) = \sqrt{1-2 \cdot 0} = \sqrt{1} = 1$;
$y'(a) = -\frac{1}{\sqrt{1-2 \cdot 0}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$;
$y = 1 — 1(x — 0) = 1 — x$;
Ответ: $y = 1 — x$.

Дано: Прямая $y = 2 — x$, её коэффициент наклона (угловой коэффициент) — это значение перед $x$:

$$k = -1$$

а) $y = -4\sqrt{x + 7}$

Найдём точку на графике функции, в которой касательная будет параллельна прямой $y = 2 — x$, т.е. её производная в этой точке должна быть равна $-1$.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y = -4\sqrt{x + 7}$$

Запишем в виде степени:

$$y = -4(x + 7)^{1/2}$$

Применим правило производной для степенной функции и цепное правило:

$$y’ = -4 \cdot \frac{1}{2}(x + 7)^{-1/2} \cdot (x + 7)’$$

Так как $(x + 7)’ = 1$, получаем:

$$y’ = -4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 7}} = -\frac{2}{\sqrt{x + 7}}$$

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой

Найдем значение $x$, при котором касательная к графику будет иметь наклон $-1$:

$$-\frac{2}{\sqrt{x + 7}} = -1$$

Умножим обе части на $-1$:

$$\frac{2}{\sqrt{x + 7}} = 1$$

Умножим обе части на $\sqrt{x + 7}$:

$$2 = \sqrt{x + 7}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4 = x + 7$$

Решаем уравнение:

$$x = 4 — 7 = -3$$

Значит, $a = -3$ — это значение $x$, в котором наклон касательной равен $-1$.

Шаг 3: Найдём уравнение касательной в точке $x = -3$

Найдем значение функции в этой точке:

$$y(a) = y(-3) = -4\sqrt{-3 + 7} = -4\sqrt{4} = -4 \cdot 2 = -8$$

Найдем значение производной в этой точке:

$$y'(-3) = -\frac{2}{\sqrt{-3 + 7}} = -\frac{2}{\sqrt{4}} = -\frac{2}{2} = -1$$

Используем уравнение касательной в точке $x = a$, $y = f(a)$, с производной $f'(a)$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = -8 + (-1)(x + 3) = -8 — x — 3 = -x — 11$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = -x — 11}$$

б) $y = \sqrt{1 — 2x}$

Опять ищем точку, в которой касательная будет параллельна прямой $y = 2 — x$, то есть её производная также должна равняться $-1$.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y = \sqrt{1 — 2x} = (1 — 2x)^{1/2}$$

Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{1}{2}(1 — 2x)^{-1/2} \cdot (1 — 2x)’$$

Внутренняя производная:

$$(1 — 2x)’ = -2$$

Итак:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}}$$

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой

$$-\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}} = -1$$

Умножим обе части на $-1$:

$$\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}} = 1$$

Переворачиваем обе части:

$$\sqrt{1 — 2x} = 1$$

Возводим в квадрат:

$$1 — 2x = 1$$

Решаем уравнение:

$$-2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Значит, $a = 0$

Шаг 3: Найдём уравнение касательной в точке $x = 0$

Вычислим значение функции:

$$y(0) = \sqrt{1 — 2 \cdot 0} = \sqrt{1} = 1$$

Вычислим значение производной:

$$y'(0) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2 \cdot 0}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

Запишем уравнение касательной в точке $(0, 1)$ с наклоном $-1$:

$$y = 1 — 1(x — 0) = 1 — x$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = 1 — x}$$