ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если:

а) $f(x) = \sqrt{x — 7}$ и $a = 8$;

б) $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$ и $a = 0$;

в) $f(x) = \sqrt{10 + x}$ и $a = -5$;

г) $f(x) = \sqrt{3,5 — 0,5x}$ и $a = -1$

а) $f(x) = \sqrt{x — 7}$ и $a = 8$;

$f'(x) = (\sqrt{x — 7})’ = \frac{1}{2\sqrt{x — 7}}$;

$f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{8 — 7}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

б) $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$ и $a = 0$;

$f'(x) = (\sqrt{4 — 5x})’ = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 5x}}$;

$f'(a) = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$;

Ответ: $k = -\frac{5}{4}$.

в) $f(x) = \sqrt{10 + x}$ и $a = -5$;

$f'(x) = (\sqrt{10 + x})’ = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}$;

$f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{10 — 5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$;

Ответ: $k = \frac{\sqrt{5}}{10}$.

г) $f(x) = \sqrt{3,5 — 0,5x}$ и $a = -1$;

$f'(x) = (\sqrt{3,5 — 0,5x})’ = -\frac{0,5}{2\sqrt{3,5 — 0,5x}}$;

$f'(a) = -\frac{0,5}{2\sqrt{3,5 + 0,5}} = -\frac{0,5}{2\sqrt{4}} = -\frac{0,5}{2 \cdot 2} = -\frac{0,5}{4} = -\frac{1}{8}$;

Ответ: $k = -\frac{1}{8}$.

Производная функции на точке $x = a$ представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Для нахождения производной, если функция представлена через квадратный корень, мы будем использовать правило дифференцирования для корня, которое можно выразить как:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{g(x)} \right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.$$

Здесь $g(x)$ — внутренняя функция, которая под корнем. Также нам нужно будет подставлять конкретные значения $x = a$ в полученную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в данной точке.

а) $f(x) = \sqrt{x — 7}$ и $a = 8$:

Нахождение производной функции:

Применим правило дифференцирования для функции вида $f(x) = \sqrt{x — 7}$. Мы видим, что под корнем находится выражение $x — 7$, которое нужно дифференцировать. Для этого применяем правило для корня:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x — 7}} \cdot \frac{d}{dx}(x — 7).$$

Поскольку производная от $x — 7$ по $x$ равна 1, получаем:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x — 7}}.$$

Вычисление производной в точке $a = 8$:

Подставим $x = 8$ в выражение для производной:

$$f'(8) = \frac{1}{2\sqrt{8 — 7}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

б) $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$ и $a = 0$:

Нахождение производной функции:

Для функции $f(x) = \sqrt{4 — 5x}$, под корнем у нас выражение $4 — 5x$. Мы снова применяем правило дифференцирования для корня:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 — 5x}} \cdot \frac{d}{dx}(4 — 5x).$$

Производная от $4 — 5x$ по $x$ равна $-5$, следовательно, производная функции:

$$f'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 5x}}.$$

Вычисление производной в точке $a = 0$:

Подставим $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{4 — 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}.$$

Ответ: $k = -\frac{5}{4}$.

в) $f(x) = \sqrt{10 + x}$ и $a = -5$:

Нахождение производной функции:

Для функции $f(x) = \sqrt{10 + x}$, под корнем у нас выражение $10 + x$. Применяем правило дифференцирования для корня:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot \frac{d}{dx}(10 + x).$$

Производная от $10 + x$ по $x$ равна 1, и, следовательно:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}.$$

Вычисление производной в точке $a = -5$:

Подставим $x = -5$ в выражение для производной:

$$f'(-5) = \frac{1}{2\sqrt{10 — 5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}.$$

Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$$f'(-5) = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}.$$

Ответ: $k = \frac{\sqrt{5}}{10}$.

г) $f(x) = \sqrt{3.5 — 0.5x}$ и $a = -1$:

Нахождение производной функции:

Для функции $f(x) = \sqrt{3.5 — 0.5x}$, под корнем у нас выражение $3.5 — 0.5x$. Применяем правило дифференцирования для корня:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3.5 — 0.5x}} \cdot \frac{d}{dx}(3.5 — 0.5x).$$

Производная от $3.5 — 0.5x$ по $x$ равна $-0.5$, следовательно, производная функции:

$$f'(x) = -\frac{0.5}{2\sqrt{3.5 — 0.5x}}.$$

Вычисление производной в точке $a = -1$:

Подставим $x = -1$ в выражение для производной:

$$f'(-1) = -\frac{0.5}{2\sqrt{3.5 + 0.5}} = -\frac{0.5}{2\sqrt{4}} = -\frac{0.5}{2 \cdot 2} = -\frac{0.5}{4} = -\frac{1}{8}.$$

Ответ: $k = -\frac{1}{8}$.