ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) На графике функции $y = x^3 — 3x^2 + x + 1$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

б) На графике функции $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$. Составьте уравнения этих касательных.

а) $y = x^3 — 3x^2 + x + 1$ и $\varphi = 45^\circ$;

$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (x + 1)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 1 = 3x^2 — 6x + 1$;

$\operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$:

$$3x^2 — 6x + 1 = 1;$$ $$3x^2 — 6x = 0;$$ $$3x(x — 2) = 0;$$ $$x = 0 \text{ или } x = 2;$$ $$a_1 = 0 \text{ и } a_2 = 2;$$

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1;$$ $$y'(a_1) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 1 = 1;$$ $$y = 1 + 1(x — 0) = x + 1;$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 8 — 3 \cdot 4 + 3 = 11 — 12 = -1;$$ $$y'(a_2) = 3 \cdot 2^2 — 6 \cdot 2 + 1 = 3 \cdot 4 — 12 + 1 = 12 — 11 = 1;$$ $$y = -1 + 1(x — 2) = -1 + x — 2 = x — 3;$$

Ответ: $x_1 = 0$ и $y = x + 1$; $x_2 = 2$ и $y = x — 3$.

б) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ и $\varphi = 135^\circ$;

$y’ = \frac{(3x + 7)'(x + 2) — (3x + 7)(x + 2)’}{(x + 2)^2}$;

$$y’ = \frac{3(x + 2) — (3x + 7)}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = -\frac{1}{(x + 2)^2};$$

$\operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 135^\circ = -1$:

$$-\frac{1}{(x + 2)^2} = -1;$$ $$1 = (x + 2)^2, \text{ тогда:}$$ $$x_1 + 2 = -1, \text{ отсюда } x_1 = -3;$$ $$x_2 + 2 = 1, \text{ отсюда } x_2 = -1;$$ $$a_1 = -3 \text{ и } a_2 = -1;$$

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = \frac{3 \cdot (-3) + 7}{-3 + 2} = \frac{-9 + 7}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2;$$ $$y'(a_1) = -\frac{1}{(-3 + 2)^2} = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1;$$ $$y = 2 — 1(x + 3) = 2 — x — 3 = -x — 1;$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = \frac{3 \cdot (-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{-3 + 7}{1} = \frac{4}{1} = 4;$$ $$y'(a_2) = -\frac{1}{(-1 + 2)^2} = -\frac{1}{(1)^2} = -\frac{1}{1} = -1;$$ $$y = 4 — 1(x + 1) = 4 — x — 1 = 3 — x;$$

Ответ: $x_1 = -3$ и $y = -x — 1$; $x_2 = -1$ и $y = 3 — x$.

а) $y = x^3 — 3x^2 + x + 1$, угол касательной $\varphi = 45^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Производная функции даёт угловой коэффициент касательной к графику в данной точке.

Функция дана:

$$y = x^3 — 3x^2 + x + 1$$

Найдём её производную по правилу дифференцирования суммы:

$$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (x)’ + (1)’$$

Теперь находим производные каждого слагаемого:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x \Rightarrow -3(x^2)’ = -3 \cdot 2x = -6x$
• $(x)’ = 1$
• $(1)’ = 0$

Итак:

$$y’ = 3x^2 — 6x + 1$$

Шаг 2: Угловой коэффициент касательной и связь с углом

Угловой коэффициент касательной $k$ связан с углом наклона $\varphi$ так:

$$k = \tan(\varphi)$$

Нам дано:

$$\varphi = 45^\circ \Rightarrow \tan(45^\circ) = 1$$

Теперь приравниваем производную к этому значению:

$$3x^2 — 6x + 1 = 1$$

Шаг 3: Решаем уравнение

$$3x^2 — 6x + 1 = 1 \Rightarrow 3x^2 — 6x = 0$$ $$3x(x — 2) = 0$$

Отсюда:

• $x = 0$
• $x = 2$

Назовём эти точки: $a_1 = 0$, $a_2 = 2$

Шаг 4: Найдём точки касания и составим уравнения касательных

Формула касательной в точке $x = a$:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

4.1: Для $x = 0$

• $y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 0 + 1 = 1$
• $y'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 1 = 1$

Подставляем в формулу:

$$y = 1 + 1(x — 0) = x + 1$$

4.2: Для $x = 2$

• $y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 8 — 12 + 2 + 1 = -1$
• $y'(2) = 3 \cdot 4 — 6 \cdot 2 + 1 = 12 — 12 + 1 = 1$

Подставляем:

$$y = -1 + 1(x — 2) = x — 3$$

Ответ к пункту а:

• При $x = 0$: касательная $y = x + 1$
• При $x = 2$: касательная $y = x — 3$

б) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$, угол касательной $\varphi = 135^\circ$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Используем правило производной дроби:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Здесь:

• $u = 3x + 7 \Rightarrow u’ = 3$
• $v = x + 2 \Rightarrow v’ = 1$

Подставим:

$$y’ = \frac{3(x + 2) — (3x + 7)(1)}{(x + 2)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$y’ = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$$

Шаг 2: Приравниваем производную к $\tan(135^\circ)$

$$\varphi = 135^\circ \Rightarrow \tan(135^\circ) = -1$$

Приравниваем:

$$-\frac{1}{(x + 2)^2} = -1$$

Избавимся от знаков:

$$\frac{1}{(x + 2)^2} = 1 \Rightarrow (x + 2)^2 = 1$$

Решаем:

• $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
• $x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$

Назовём: $a_1 = -3$, $a_2 = -1$

Шаг 3: Найдём точки касания и составим уравнения касательных

Формула та же:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

3.1: Для $x = -3$

• $y(-3) = \frac{3 \cdot (-3) + 7}{-3 + 2} = \frac{-9 + 7}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$
• $y'(-3) = -\frac{1}{(-3 + 2)^2} = -\frac{1}{1} = -1$

Подставляем:

$$y = 2 + (-1)(x + 3) = 2 — x — 3 = -x — 1$$

3.2: Для $x = -1$

• $y(-1) = \frac{3 \cdot (-1) + 7}{-1 + 2} = \frac{-3 + 7}{1} = 4$
• $y'(-1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

Подставляем:

$$y = 4 + (-1)(x + 1) = 4 — x — 1 = 3 — x$$

Ответ к пункту б:

• При $x = -3$: касательная $y = -x — 1$
• При $x = -1$: касательная $y = 3 — x$