ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение той касательной к графику функции у = f(x), которая образует с осью х заданный угол а, если:

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} x^3 — 3\sqrt{3}x$ и $\varphi = 60^\circ$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} x — \frac{\sqrt{3}}{3} x^3$ и $\varphi = 30^\circ$

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} x^3 — 3\sqrt{3}x$ и $\varphi = 60^\circ$;

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} (x^3)’ — 3\sqrt{3}(x)’ = \frac{3}{\sqrt{3}} x^2 — 3\sqrt{3} = x^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3};$

$\operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}:$

$$x^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \quad | : \sqrt{3};$$ $$x^2 — 3 = 1;$$ $$x^2 = 4, \text{отсюда } x = \pm 2;$$ $$a_1 = -2 \text{ и } a_2 = 2;$$

Уравнение первой касательной:

$$f(a_1) = \frac{1}{\sqrt{3}} (-2)^3 — 3\sqrt{3} \cdot (-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = \frac{-8 + 6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}};$$ $$f'(a_1) = (-2)^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3};$$ $$y = \frac{10}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(x + 2) = \frac{10}{\sqrt{3}} + x\sqrt{3} + \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3};$$

Уравнение второй касательной:

$$f(a_2) = \frac{1}{\sqrt{3}} (2)^3 — 3\sqrt{3} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{3}} — 6\sqrt{3} = \frac{8 — 6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = -\frac{10}{\sqrt{3}};$$ $$f'(a_2) = 2^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3};$$ $$y = -\frac{10}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(x — 2) = -\frac{10}{\sqrt{3}} + x\sqrt{3} — \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $y = x\sqrt{3} \pm \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} x — \frac{\sqrt{3}}{3} x^3$ и $\varphi = 30^\circ$;

$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} (x)’ — \frac{\sqrt{3}}{3} (x^3)’ = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4 — 3x^2}{\sqrt{3}};$

$\operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}:$

$$\frac{4 — 3x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$4 — 3x^2 = 1;$$ $$3x^2 = 3;$$ $$x^2 = 1, \text{отсюда } x = \pm 1;$$ $$a_1 = -1 \text{ и } a_2 = 1;$$

Уравнение первой касательной:

$$f(a_1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (-1) — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}};$$ $$f'(a_1) = \frac{4 — 3 \cdot (-1)^2}{\sqrt{3}} = \frac{4 — 3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$y = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1) = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} x — \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} x — \frac{2\sqrt{3}}{3};$$

Уравнение второй касательной:

$$f(a_2) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1^3 = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}};$$ $$f'(a_2) = \frac{4 — 3 \cdot 1^2}{\sqrt{3}} = \frac{4 — 3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$y = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}(x — 1) = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}} — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} x^3 — 3\sqrt{3}x$, угол наклона касательной $\varphi = 60^\circ$

1. Находим производную $f'(x)$

Функция:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} x^3 — 3\sqrt{3}x$$

Применим правила дифференцирования:

• Производная $x^3$ равна $3x^2$
• Производная $x$ равна $1$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 — 3\sqrt{3} \cdot 1 = \frac{3x^2}{\sqrt{3}} — 3\sqrt{3}$$

Сократим:

$$\frac{3x^2}{\sqrt{3}} = x^2 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = x^2 \cdot \sqrt{3}$$

Итак:

$$f'(x) = x^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3}$$

2. Производная равна угловому коэффициенту касательной

Угол наклона касательной $\varphi = 60^\circ$.
Тогда:

$$\text{tg}(\varphi) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$

По определению касательной:

$$f'(x) = \tan(\varphi) = \sqrt{3}$$

Подставим:

$$x^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$, чтобы упростить:

$$x^2 — 3 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Итак:

$$a_1 = -2, \quad a_2 = 2$$

3. Уравнение касательной в точке $a_1 = -2$

3.1. Находим $f(-2)$:

$$f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}} (-2)^3 — 3\sqrt{3} \cdot (-2) = \frac{-8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3}$$

Запишем $6\sqrt{3}$ со знаменателем $\sqrt{3}$:

$$6\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$$

Тогда:

$$f(-2) = \frac{-8 + 18}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$$

3.2. Находим производную в этой точке:

$$f'(-2) = (-2)^2 \sqrt{3} — 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

3.3. Составим уравнение касательной:

Общий вид:

$$y = f(a_1) + f'(a_1)(x — a_1)$$

Подставим:

$$y = \frac{10}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(x — (-2)) = \frac{10}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(x + 2)$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{3}(x + 2) = x\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{10}{\sqrt{3}} + x\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$

Теперь приведем всё к общему знаменателю $\sqrt{3}$:

$$2\sqrt{3} = \frac{6}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = x\sqrt{3} + \frac{10 + 6}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3} + \frac{16}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3} + \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

4. Уравнение касательной в точке $a_2 = 2$

4.1. Находим $f(2)$:

$$f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 8 — 3\sqrt{3} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{3}} — 6\sqrt{3}$$

Представим $6\sqrt{3}$ как $\frac{18}{\sqrt{3}}$, тогда:

$$f(2) = \frac{8 — 18}{\sqrt{3}} = -\frac{10}{\sqrt{3}}$$

4.2. Производная:

$$f'(2) = 4\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

4.3. Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = -\frac{10}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}(x — 2)$$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{3}(x — 2) = x\sqrt{3} — 2\sqrt{3}$$

Тогда:

$$y=-\frac{10}{\sqrt{3}}+x\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Rightarrow -2\sqrt{3}=\frac{-6}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$

$$y = -\frac{10}{\sqrt{3}} + x\sqrt{3} — 2\sqrt{3} \Rightarrow -2\sqrt{3} = \frac{-6}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = x\sqrt{3} — \frac{10 + 6}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3} — \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Ответ для а):

$$\boxed{y = x\sqrt{3} \pm \frac{16\sqrt{3}}{3}}$$

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} x — \frac{\sqrt{3}}{3} x^3$, $\varphi = 30^\circ$

1. Производная функции

$$f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} x — \frac{\sqrt{3}}{3} x^3$$

Дифференцируем:

• $\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot x \rightarrow \frac{4}{\sqrt{3}}$
• $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot x^3 \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \sqrt{3} x^2$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} — \sqrt{3} x^2 = \frac{4 — 3x^2}{\sqrt{3}}$$

2. Подставим угол $\varphi = 30^\circ$

$$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Приравниваем производную:

$$\frac{4 — 3x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 4 — 3x^2 = 1 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Значит:

$$a_1 = -1, \quad a_2 = 1$$

3. Касательная в точке $a_1 = -1$

3.1. Найдём $f(-1)$:

$$f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot (-1) — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Общий знаменатель:

$$-\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}}$$

3.2. Найдём производную:

$$f'(-1) = \frac{4 — 3 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

3.3. Уравнение касательной:

$$y=-\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1)=-\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x-2}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$

$$y = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1) = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x — 2}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{3}x — \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

4. Касательная в точке $a_2 = 1$

4.1. $f(1)$:

$$f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1^3 = \frac{4}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$

4.2. Производная:

$$f'(1) = \frac{4 — 3 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

4.3. Уравнение касательной:

$$y = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}(x — 1) = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{x — 1}{\sqrt{3}} = \frac{x + 2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Ответ для б):

$$\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{3} x \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$