ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x):

а) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$ и $B(1; 1)$;

б) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$ и $B(0; 9)$

а) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$ и $B(1; 1)$;

$f'(x) = -(x^2)’ — (7x — 8)’ = -2x — 7$;

Уравнение касательной:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8;$$ $$f'(a) = -2a — 7;$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 + (-2a — 7)(x — a);$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 — 2ax — 7x + 2a^2 — 7a + 7a = 8 — 2ax — 7x + a^2;$$

Абсцисса точки касания:

$$1 = 8 — 2a \cdot 1 — 7 \cdot 1 + a^2;$$ $$1 = 8 — 2a — 7 + a^2;$$ $$1 = 1 — 2a + a^2;$$ $$a^2 — 2a = 0;$$ $$a(a — 2) = 0;$$ $$a_1 = 0 \text{ и } a_2 = 2;$$

Подставим значения:

$$y_1 = 8 — 2 \cdot 0x — 7x + 0^2 = 8 — 7x;$$ $$y_2 = 8 — 2 \cdot 2x — 7x + 2^2 = 8 — 4x — 7x + 4 = 12 — 11x;$$

Ответ: $y = 8 — 7x$; $y = 12 — 11x$.

б) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$ и $B(0; 9)$;

$f'(x) = -(x^2)’ — (7x — 8)’ = -2x — 7$;

Уравнение касательной:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8;$$ $$f'(a) = -2a — 7;$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 + (-2a — 7)(x — a);$$ $$y = -a^2 — 7a + 8 — 2ax — 7x + 2a^2 — 7a + 7a = 8 — 2ax — 7x + a^2;$$

Абсцисса точки касания:

$$9 = 8 — 2a \cdot 0 — 7 \cdot 0 + a^2;$$ $$9 = 8 + a^2;$$ $$a^2 = 1, \text{отсюда } a = \pm 1;$$

Подставим значения:

$$y_1 = 8 — 2 \cdot (-1)x — 7x + (-1)^2 = 8 + 2x — 7x + 1 = 9 — 5x;$$ $$y_2 = 8 — 2 \cdot 1x — 7x + 1^2 = 8 — 2x — 7x + 1 = 9 — 9x;$$

Ответ: $y = 9 — 5x$; $y = 9 — 9x$.

а) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$, точка $B(1; 1)$

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = -x^2 — 7x + 8$$

Производная (правила производной суммы и степенной функции):

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) + \frac{d}{dx}(-7x) + \frac{d}{dx}(8)$$ $$f'(x) = -2x — 7 + 0 = -2x — 7$$

Шаг 2: Общая формула уравнения касательной в точке $x = a$

Значение функции в точке $a$:

$$f(a) = -a^2 — 7a + 8$$

Значение производной в точке $a$ — это угловой коэффициент касательной:

$$f'(a) = -2a — 7$$

Уравнение касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим значения:

$$y = (-a^2 — 7a + 8) + (-2a — 7)(x — a)$$

Раскроем скобки:

Распишем:

$$y = -a^2 — 7a + 8 + (-2a — 7)(x — a)$$

Раскроем вторые скобки (распределим множители):

$$(-2a — 7)(x — a) = -2a x + 2a^2 — 7x + 7a$$

Подставим это в уравнение:

$$y = -a^2 — 7a + 8 — 2a x + 2a^2 — 7x + 7a$$

Приведем подобные:

• $-a^2 + 2a^2 = a^2$
• $-7a + 7a = 0$
• $8$
• $-2a x — 7x = -2a x — 7x$

Итог:

$$y = a^2 + 8 — 2a x — 7x$$

или:

$$y = 8 — 2a x — 7x + a^2$$

Шаг 3: Подставим координаты точки $B(1; 1)$ в уравнение касательной

Мы ищем такие значения $a$, чтобы точка $B(1; 1)$ лежала на касательной:

$$x = 1, \quad y = 1$$

Подставим:

$$1 = 8 — 2a \cdot 1 — 7 \cdot 1 + a^2$$ $$1 = 8 — 2a — 7 + a^2$$ $$1 = 1 — 2a + a^2$$

Перенесем всё в одну часть:

$$a^2 — 2a + (1 — 1) = 0 \Rightarrow a^2 — 2a = 0$$

Решим уравнение:

$$a(a — 2) = 0 \Rightarrow a = 0 \quad \text{или} \quad a = 2$$

Шаг 4: Найдём уравнения касательных для каждого значения $a$

При $a = 0$:

$$y = 8 — 2 \cdot 0 \cdot x — 7x + 0^2 = 8 — 7x$$

При $a = 2$:

$$y = 8 — 2 \cdot 2 \cdot x — 7x + 2^2 = 8 — 4x — 7x + 4 = 12 — 11x$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = 8 — 7x \quad \text{и} \quad y = 12 — 11x}$$

б) $f(x) = -x^2 — 7x + 8$, точка $B(0; 9)$

Производная та же:

$$f'(x) = -2x — 7$$

Шаг 1: Общая формула касательной — уже получена:

$$y = 8 — 2a x — 7x + a^2$$

Шаг 2: Подставим координаты точки $B(0; 9)$

$$x = 0, \quad y = 9$$ $$9 = 8 — 2a \cdot 0 — 7 \cdot 0 + a^2 = 8 + a^2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Шаг 3: Найдём уравнения касательных

При $a = -1$:

$$y = 8 — 2 \cdot (-1)x — 7x + (-1)^2 = 8 + 2x — 7x + 1 = 9 — 5x$$

При $a = 1$:

$$y = 8 — 2 \cdot 1x — 7x + 1^2 = 8 — 2x — 7x + 1 = 9 — 9x$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = 9 — 5x \quad \text{и} \quad y = 9 — 9x}$$