ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x):

а) $f(x) = \sqrt{3 — x}$ и $B(-2; 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{3 — x}$ и $B(4; 0)$

а) $f(x) = \sqrt{3 — x}$ и $B(-2; 3)$;

$f'(x) = (\sqrt{3 — x})’ = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$;

Уравнение касательной:
$f(a) = \sqrt{3 — a} \quad \text{и} \quad f'(a) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — a}};$
$y = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a);$
$y = \frac{2(3 — a) — (x — a)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — a — x}{2\sqrt{3 — a}};$

Абсцисса точки касания:
$3 = \frac{6 — a + 2}{2\sqrt{3 — a}};$
$6\sqrt{3 — a} = 8 — a;$
$36(3 — a) = 64 — 16a + a^2;$
$108 — 36a = 64 — 16a + a^2;$
$a^2 + 20a — 44 = 0;$
$D = 20^2 + 4 \cdot 44 = 400 + 176 = 576 = 24^2, \text{тогда:}$
$a_1 = \frac{-20 — 24}{2} = -22 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-20 + 24}{2} = 2;$

Подставим значения:
$y_1 = \frac{6 + 22 — x}{2\sqrt{3 + 22}} = \frac{28 — x}{2\sqrt{25}} = \frac{28 — x}{2 \cdot 5} = \frac{28 — x}{10} = 2,8 — 0,1x;$
$y_2 = \frac{6 — 2 — x}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2\sqrt{1}} = \frac{4 — x}{2} = 2 — 0,5x;$

Ответ: $y = 2,8 — 0,1x; \quad y = 2 — 0,5x.$

б) $f(x) = \sqrt{3 — x}$ и $B(4; 0)$;

$f'(x) = (\sqrt{3 — x})’ = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$;

Уравнение касательной:
$f(a) = \sqrt{3 — a} \quad \text{и} \quad f'(a) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — a}};$
$y = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a);$
$y = \frac{2(3 — a) — (x — a)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — a — x}{2\sqrt{3 — a}};$

Абсцисса точки касания:
$0 = \frac{6 — a — 4}{2\sqrt{3 — a}};$
$2 — a = 0, \text{отсюда } a = 2;$

Подставим значение:
$y = \frac{6 — 2 — x}{2\sqrt{3 — 2}} = \frac{4 — x}{2\sqrt{1}} = \frac{4 — x}{2} = 2 — 0,5x;$

Ответ: $y = 2 — 0,5x.$

а) Дан график функции:

$$f(x) = \sqrt{3 — x}$$

И точка $B(-2; 3)$. Требуется найти уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку $B$.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = \sqrt{3 — x} = (3 — x)^{1/2}$$

Применим цепное правило дифференцирования:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(3 — x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Шаг 2: Общее уравнение касательной в точке $a$

Пусть касательная касается графика в точке $A(a, f(a)) = (a, \sqrt{3 — a})$. Тогда:

$$f(a) = \sqrt{3 — a}, \quad f'(a) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — a}}$$

Уравнение касательной по формуле:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим значения:

$$y = \sqrt{3 — a} — \frac{1}{2\sqrt{3 — a}}(x — a)$$

Приведём к общему виду:

$$y = \frac{2(3 — a)}{2\sqrt{3 — a}} — \frac{x — a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — 2a — x + a}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — a — x}{2\sqrt{3 — a}}$$

Шаг 3: Подставим координаты точки $B(-2, 3)$ в уравнение касательной

Ищем такие значения $a$, при которых касательная проходит через точку $B(-2; 3)$. Подставим в уравнение касательной:

$$3 = \frac{6 — a — (-2)}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{6 — a + 2}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{8 — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Умножим обе части на $2\sqrt{3 — a}$:

$$6\sqrt{3 — a} = 8 — a$$

Шаг 4: Уберём корень и решим уравнение

Возведём обе части в квадрат:

$$(6\sqrt{3 — a})^2 = (8 — a)^2$$

Левая часть:

$$36(3 — a) = 108 — 36a$$

Правая часть:

$$(8 — a)^2 = 64 — 16a + a^2$$

Приравниваем:

$$108 — 36a = 64 — 16a + a^2$$

Переносим всё в одну сторону:

$$108-36a-64+16a-a^2=0\Rightarrow -a^2-20a+44=0\Rightarrow$$

$$108 — 36a — 64 + 16a — a^2 = 0 \Rightarrow -a^2 — 20a + 44 = 0 \Rightarrow a^2 + 20a — 44 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$a^2 + 20a — 44 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 400 + 176 = 576$$ $$\sqrt{D} = 24$$

Находим корни:

$$a_1 = \frac{-20 — 24}{2} = \frac{-44}{2} = -22, \quad a_2 = \frac{-20 + 24}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 6: Подставим оба значения $a$ в уравнение касательной

Для $a = -22$

Находим:

$$\sqrt{3 — (-22)} = \sqrt{25} = 5$$ $$f'(a) = -\frac{1}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{10}$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)=5-\frac{1}{10}(x+22)=5-\frac{1}{10}x-\frac{22}{10}=$$

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 5 — \frac{1}{10}(x + 22) = 5 — \frac{1}{10}x — \frac{22}{10} = \frac{50 — 22 — x}{10} = \frac{28 — x}{10} \Rightarrow y = 2.8 — 0.1x$$

Для $a = 2$

$$\sqrt{3 — 2} = \sqrt{1} = 1$$ $$f'(a) = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$$ $$y = 1 — \frac{1}{2}(x — 2) = 1 — \frac{1}{2}x + 1 = 2 — 0.5x$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{y = 2.8 — 0.1x; \quad y = 2 — 0.5x}$$

б) $f(x) = \sqrt{3 — x}$, точка $B(4; 0)$

Шаг 1: Найдём производную функции

Уже было:

$$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Шаг 2: Уравнение касательной в точке $a$:

$$y = \frac{6 — a — x}{2\sqrt{3 — a}}$$

Шаг 3: Подставим точку $B(4; 0)$ в уравнение

$$0 = \frac{6 — a — 4}{2\sqrt{3 — a}} = \frac{2 — a}{2\sqrt{3 — a}}$$

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

$$2 — a = 0 \Rightarrow a = 2$$

Шаг 4: Найдём уравнение касательной при $a = 2$

$$\sqrt{3 — 2} = \sqrt{1} = 1, \quad f'(2) = -\frac{1}{2}$$ $$y = 1 — \frac{1}{2}(x — 2) = 1 — \frac{1}{2}x + 1 = 2 — 0.5x$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{y = 2 — 0.5x}$$