ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x):

а) $f(x) = \sqrt{4x — 3}$ и $B(2; 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и $B(1; 2)$

а) $f(x) = \sqrt{4x — 3}$ и $B(2; 3)$;

$f'(x) = (\sqrt{4x — 3})’ = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x — 3}} = \frac{2}{\sqrt{4x — 3}}$;

Уравнение касательной:

$f(a) = \sqrt{4a — 3}$ и $f'(a) = \frac{2}{\sqrt{4a — 3}}$;

$y = \sqrt{4a — 3} + \frac{2}{\sqrt{4a — 3}}(x — a)$;

$y = \frac{4a — 3 + 2(x — a)}{\sqrt{4a — 3}} = \frac{4a — 3 + 2x — 2a}{\sqrt{4a — 3}} = \frac{2a — 3 + 2x}{\sqrt{4a — 3}}$;

Абсцисса точки касания:

$3 = \frac{2a — 3 + 2 \cdot 2}{\sqrt{4a — 3}}$;

$3\sqrt{4a — 3} = 2a + 1$;

$9(4a — 3) = 4a^2 + 4a + 1$;

$36a — 27 = 4a^2 + 4a + 1$;

$4a^2 — 32a + 28 = 0 \quad |: 4$;

$a^2 — 8a + 7 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$, тогда:

$a_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1$ и $a_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$;

Подставим значения:

$y_1 = \frac{2 \cdot 1 — 3 + 2x}{\sqrt{4 \cdot 1 — 3}} = \frac{-1 + 2x}{\sqrt{1}} = 2x — 1$;

$y_2 = \frac{2 \cdot 7 — 3 + 2x}{\sqrt{4 \cdot 7 — 3}} = \frac{14 — 3 + 2x}{\sqrt{28 — 3}} = \frac{2x + 11}{5} = 0.4x + 2.2$;

Ответ: $y = 2x — 1$; $y = 0.4x + 2.2$.

б) $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и $B(1; 2)$;

$f'(x) = (\sqrt{2x + 1})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$;

Уравнение касательной:

$f(a) = \sqrt{2a + 1}$ и $f'(a) = \frac{1}{\sqrt{2a + 1}}$;

$y = \sqrt{2a + 1} + \frac{1}{\sqrt{2a + 1}}(x — a)$;

$y = \frac{2a + 1 + x — a}{\sqrt{2a + 1}} = \frac{a + x + 1}{\sqrt{2a + 1}}$;

Абсцисса точки касания:

$2 = \frac{a + 1 + 1}{\sqrt{2a + 1}}$;

$2\sqrt{2a + 1} = a + 2$;

$4(2a + 1) = a^2 + 4a + 4$;

$8a + 4 = a^2 + 4a + 4$;

$a^2 — 4a = 0$;

$a(a — 4) = 0$;

$a_1 = 0$ и $a_2 = 4$;

Подставим значения:

$y_1 = \frac{0 + x + 1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = \frac{x + 1}{\sqrt{1}} = x + 1$;

$y_2 = \frac{4 + x + 1}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \frac{5 + x}{\sqrt{8 + 1}} = \frac{5 + x}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$;

Ответ: $y = x + 1$; $y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.

а)

Функция:
$f(x) = \sqrt{4x — 3}$
Точка:
$B(2; 3)$
Найти: касательные к графику функции, проходящие через точку $B(2; 3)$.

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = \sqrt{4x — 3} = (4x — 3)^{1/2}$$

Используем производную сложной функции:

$$(f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Где:

• $f(u) = u^{1/2} \Rightarrow f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$
• $g(x) = 4x — 3 \Rightarrow g'(x) = 4$

Итак:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x — 3}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x — 3}}$$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x = a$

В общем виде касательная к функции $f(x)$ в точке $x = a$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

• $f(a) = \sqrt{4a — 3}$
• $f'(a) = \frac{2}{\sqrt{4a — 3}}$

Получим:

$$y = \sqrt{4a — 3} + \frac{2}{\sqrt{4a — 3}}(x — a)$$

Шаг 3. Приводим уравнение касательной к дробному виду

Общий знаменатель — $\sqrt{4a — 3}$. Запишем числитель:

$$y = \frac{\sqrt{4a — 3} \cdot \sqrt{4a — 3} + 2(x — a)}{\sqrt{4a — 3}} = \frac{4a — 3 + 2x — 2a}{\sqrt{4a — 3}}$$

Упростим числитель:

$$(4a — 3 + 2x — 2a) = 2a — 3 + 2x$$

Итак, уравнение касательной:

$$y = \frac{2a — 3 + 2x}{\sqrt{4a — 3}}$$

Шаг 4. Подставляем точку $B(2; 3)$ в касательную

Подставим координаты $B(2; 3)$ в полученное уравнение:

$$3 = \frac{2a — 3 + 2 \cdot 2}{\sqrt{4a — 3}}$$

Считаем:

$$3 = \frac{2a — 3 + 4}{\sqrt{4a — 3}} = \frac{2a + 1}{\sqrt{4a — 3}}$$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{4a — 3}$:

$$3\sqrt{4a — 3} = 2a + 1$$

Шаг 5. Избавимся от корня

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(3\sqrt{4a — 3})^2 = (2a + 1)^2$$

Считаем:

$$9(4a — 3) = 4a^2 + 4a + 1$$

Раскроем скобки:

$$36a — 27 = 4a^2 + 4a + 1$$

Перенесем всё в одну сторону:

$$0 = 4a^2 + 4a + 1 — 36a + 27 = 4a^2 — 32a + 28$$

Разделим на 4:

$$a^2 — 8a + 7 = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$a^2 — 8a + 7 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$$

Корни:

$$a_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1$$ $$a_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$

Шаг 7. Находим уравнение касательных для каждого $a$

При $a = 1$:

Подставим в уравнение касательной:

$$y = \frac{2a — 3 + 2x}{\sqrt{4a — 3}} = \frac{2 \cdot 1 — 3 + 2x}{\sqrt{4 \cdot 1 — 3}} = \frac{-1 + 2x}{\sqrt{1}} = 2x — 1$$

При $a = 7$:

$$y = \frac{2 \cdot 7 — 3 + 2x}{\sqrt{4 \cdot 7 — 3}} = \frac{14 — 3 + 2x}{\sqrt{28 — 3}} = \frac{2x + 11}{\sqrt{25}} = \frac{2x + 11}{5}$$

Запишем в виде:

$$y = \frac{2x + 11}{5} = 0.4x + 2.2$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = 2x — 1}; \quad \boxed{y = 0.4x + 2.2}$$

б)

Функция:

$$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$

Точка:

$$B(1; 2)$$

Шаг 1. Найдём производную

Функция:

$$f(x) = \sqrt{2x + 1} = (2x + 1)^{1/2}$$

Производная:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x = a$

$$f(a) = \sqrt{2a + 1}, \quad f'(a) = \frac{1}{\sqrt{2a + 1}}$$ $$y = f(a) + f'(a)(x — a) = \sqrt{2a + 1} + \frac{1}{\sqrt{2a + 1}}(x — a)$$

Общий знаменатель — $\sqrt{2a + 1}$. Приведем к дробному виду:

$$y = \frac{(2a + 1) + x — a}{\sqrt{2a + 1}} = \frac{a + x + 1}{\sqrt{2a + 1}}$$

Шаг 3. Подставляем точку $B(1; 2)$

$$2 = \frac{a + 1 + 1}{\sqrt{2a + 1}} = \frac{a + 2}{\sqrt{2a + 1}}$$

Умножим обе части на $\sqrt{2a + 1}$:

$$2\sqrt{2a + 1} = a + 2$$

Шаг 4. Избавимся от корня

Возводим обе части в квадрат:

$$4(2a + 1) = (a + 2)^2$$

Считаем:

$$8a + 4 = a^2 + 4a + 4$$

Переносим в одну сторону:

$$0 = a^2 + 4a + 4 — 8a — 4 = a^2 — 4a$$ $$a(a — 4) = 0$$

Корни:

$$a_1 = 0; \quad a_2 = 4$$

Шаг 5. Подставим в уравнение касательной

При $a = 0$:

$$y = \frac{a + x + 1}{\sqrt{2a + 1}} = \frac{0 + x + 1}{\sqrt{1}} = x + 1$$

При $a = 4$:

$$y = \frac{4 + x + 1}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \frac{x + 5}{\sqrt{9}} = \frac{x + 5}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$$

Ответ (б):

$$\boxed{y = x + 1}; \quad \boxed{y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}}$$