ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите все значения $x$, при каждом из которых касательная к графику функции
$y = \cos 7x + 7 \cos x$
в точках с абсциссой $x$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций
$y = 2 — 14 \sin 3x \quad \text{и} \quad y = 6 \sin 7x$
в точках с абсциссой $x = a$ параллельны.

а) $$$y = \cos 7x + 7 \cos x$;

$y’ = (\cos 7x)’ + 7(\cos x)’ = -7 \sin 7x — 7 \sin x = -7(\sin 7x + \sin x)$;

$y’\left( \frac{\pi}{6} \right) = -7 \left( \sin \frac{7\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} \right) = -7 \left( \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \sin \frac{\pi}{6} \right) = -7 \cdot 0 = 0$;

$-7(\sin 7x + \sin x) = 0$;

$\sin 7x + \sin x = 0$;

$2 \cdot \sin \frac{7x + x}{2} \cdot \cos \frac{7x — x}{2} = 0$;

$2 \cdot \sin 4x \cdot \cos 3x = 0$;

$\sin 4x = 0$;

$4x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$, отсюда $x = \frac{\pi n}{4}$;

$\cos 3x = 0$;

$3x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$, отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{4}$; $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

б) ${}_{}$$y_1 = 2 — 14 \sin 3x$ и $y_2 = 6 \sin 7x$;

$y_1′ = (2)’ — 14(\sin 3x)’ = 0 — 14 \cdot 3 \cos 3x = -42 \cos 3x$;

$y_2′ = 6(\sin 7x)’ = 6 \cdot 7 \cos 7x = 42 \cos 7x$;

$-42 \cos 3x = 42 \cos 7x$;

$-\cos 3x = \cos 7x$;

$\cos 7x + \cos 3x = 0$;

$2 \cdot \cos \frac{7x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{7x — 3x}{2} = 0$;

$2 \cdot \cos 5x \cdot \cos 2x = 0$;

$\cos 5x = 0$;

$5x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$, отсюда $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$;

$\cos 2x \neq 0$;

$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$, отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$; $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

а) Найдите все значения $x$, при каждом из которых касательная к графику функции

$$y = \cos 7x + 7 \cos x$$

в точках с абсциссой $x$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Пусть $y = \cos 7x + 7 \cos x$.
Найдем её производную по правилу суммы и цепного правила:

• Производная $\cos 7x$ равна:

$$\frac{d}{dx}(\cos 7x) = -\sin 7x \cdot 7 = -7 \sin 7x$$

• Производная $7 \cos x$ равна:

$$\frac{d}{dx}(7 \cos x) = 7 \cdot (-\sin x) = -7 \sin x$$

Тогда:

$$y’ = -7 \sin 7x — 7 \sin x = -7(\sin 7x + \sin x)$$

Шаг 2: Найдём значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в производную:

$$y’\left( \frac{\pi}{6} \right) = -7 \left( \sin \left(7 \cdot \frac{\pi}{6} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right)$$

Посчитаем:

• $7 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$
• $\sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$
• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Тогда:

$$y’\left( \frac{\pi}{6} \right) = -7 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = -7 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Приравняем производную к нулю

Ищем все значения $x$, при которых производная равна 0:

$$-7(\sin 7x + \sin x) = 0 \Rightarrow \sin 7x + \sin x = 0$$

Шаг 4: Используем формулу суммы синусов

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A — B}{2}$$

Применим к $\sin 7x + \sin x$:

$$\sin 7x + \sin x = 2 \cdot \sin \frac{7x + x}{2} \cdot \cos \frac{7x — x}{2} = 2 \cdot \sin 4x \cdot \cos 3x$$

Значит:

$$2 \cdot \sin 4x \cdot \cos 3x = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Шаг 5: Решим уравнение $\sin 4x = 0$

$$\sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 6: Решим уравнение $\cos 3x = 0$

$$\cos 3x = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{4};\quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}},\quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций

$$y_1 = 2 — 14 \sin 3x \quad \text{и} \quad y_2 = 6 \sin 7x$$

в точках с абсциссой $x = a$ параллельны.

Шаг 1: Найдём производные обеих функций

Для $y_1 = 2 — 14 \sin 3x$:

$$y_1′ = \frac{d}{dx}(2) — 14 \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 0 — 14 \cdot 3 \cos 3x = -42 \cos 3x$$

Для $y_2 = 6 \sin 7x$:

$$y_2′ = \frac{d}{dx}(6 \sin 7x) = 6 \cdot 7 \cos 7x = 42 \cos 7x$$

Шаг 2: Приравниваем производные

Касательные параллельны ⇔ производные равны:

$$-42 \cos 3x = 42 \cos 7x \Rightarrow -\cos 3x = \cos 7x$$

Шаг 3: Переносим всё в одну сторону

$$\cos 7x + \cos 3x = 0$$

Шаг 4: Используем формулу суммы косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A — B}{2}$$

Применим:

$$\cos 7x + \cos 3x = 2 \cdot \cos \frac{7x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{7x — 3x}{2} = 2 \cdot \cos 5x \cdot \cos 2x$$

Тогда:

$$2 \cdot \cos 5x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 5: Найдём решения $\cos 5x = 0$

$$\cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$$

Шаг 6: Найдём решения $\cos 2x = 0$

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ к пункту (б):

$$\boxed{a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5};\quad a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}},\quad n \in \mathbb{Z}$$