ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}$, $x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}$, $x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

а) $y = \frac{1}{x^2}$, где $x > 0$;

$y’ = \left( \frac{1}{x^2} \right)’ = (x^{-2})’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3};$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \frac{1}{a^2} \quad \text{и} \quad y'(a) = -\frac{2}{a^3};$$ $$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a) = \frac{a — 2(x — a)}{a^3} = \frac{a — 2x + 2a}{a^3} = \frac{3a — 2x}{a^3};$$

Абсцисса пересечения касательной с осью $x$:

$$0 = \frac{3a — 2x}{a^3};$$ $$3a — 2x = 0;$$ $$2x = 3a, \quad \text{отсюда } x = \frac{3a}{2};$$

Ордината пересечения касательной с осью $y$:

$$y(0) = \frac{3a — 2 \cdot 0}{a^3} = \frac{3a}{a^3} = \frac{3}{a^2};$$

Площадь отсекаемого треугольника равна 2,25, значит:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y = 2,25;$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{3}{a^2} = 2 \frac{1}{4};$$ $$\frac{9}{4a} = \frac{9}{4};$$ $$4a = 4, \quad \text{отсюда } a = 1;$$

Подставим значение:

$$y = \frac{3 \cdot 1 — 2x}{1^3} = \frac{3 — 2x}{1} = 3 — 2x;$$

Ответ: $y = 3 — 2x$.

б) $y = \frac{1}{x^2}$, где $x < 0$;

$y’ = \left( \frac{1}{x^2} \right)’ = (x^{-2})’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3};$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \frac{1}{a^2} \quad \text{и} \quad y'(a) = -\frac{2}{a^3};$$ $$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a) = \frac{a — 2(x — a)}{a^3} = \frac{a — 2x + 2a}{a^3} = \frac{3a — 2x}{a^3};$$

Абсцисса пересечения касательной с осью $x$:

$$0 = \frac{3a — 2x}{a^3};$$ $$3a — 2x = 0;$$ $$2x = 3a, \quad \text{отсюда } x = \frac{3a}{2};$$

Так как $a < 0$, то $x = -\frac{3a}{2}$ ($x$ — длина катета);

Ордината пересечения касательной с осью $y$:

$$y(0) = \frac{3a — 2 \cdot 0}{a^3} = \frac{3a}{a^3} = \frac{3}{a^2};$$

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{9}{8}$, значит:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{9}{8};$$ $$\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{3a}{2} \right) \cdot \frac{3}{a^2} = \frac{9}{8};$$ $$-\frac{9}{4a} = \frac{9}{8};$$ $$-4a = 8, \quad \text{отсюда } a = -2;$$

Подставим значение:

$$y = \frac{3 \cdot (-2) — 2x}{(-2)^3} = \frac{-6 — 2x}{-8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}x;$$

Ответ: $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}x$.

а) $y = \frac{1}{x^2}$, где $x > 0$

Шаг 1. Производная функции

Дана функция:

$$y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$$

Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

Шаг 2. Уравнение касательной

Пусть касательная проводится к графику функции в точке $x = a$, где $a > 0$.

Тогда:

• значение функции в этой точке:

  $$y(a) = \frac{1}{a^2}$$

• значение производной (то есть угловой коэффициент касательной):

  $$y'(a) = -\frac{2}{a^3}$$

Уравнение касательной в общем виде:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставляем:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2x}{a^3} + \frac{2a}{a^3}$$

Приведём к общему числителю:

$$y = \frac{1 + \frac{2a}{a} — \frac{2x}{a}}{a^2} = \frac{3a — 2x}{a^3}$$

Шаг 3. Найдём точки пересечения касательной с осями координат

Пересечение с осью X (где $y = 0$)

Уравнение касательной:

$$0 = \frac{3a — 2x}{a^3}$$

Домножим обе части на $a^3$:

$$3a — 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3a \Rightarrow x = \frac{3a}{2}$$

Это абсцисса точки пересечения касательной с осью $x$.

Пересечение с осью Y (где $x = 0$)

Подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$$y = \frac{3a — 2 \cdot 0}{a^3} = \frac{3a}{a^3} = \frac{3}{a^2}$$

Это ордината точки пересечения касательной с осью $y$.

Шаг 4. Площадь треугольника, отсекаемого касательной

Треугольник, отсекаемый от координатных осей, имеет вершины в:

• точке пересечения с осью $x$: $\left( \frac{3a}{2}, 0 \right)$
• точке пересечения с осью $y$: $\left( 0, \frac{3}{a^2} \right)$
• и в начале координат $(0, 0)$

Площадь такого прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{3}{a^2}$$

Вычислим:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{3}{a^2} = \frac{9}{4a}$$

По условию:

$$S = 2.25 = \frac{9}{4}$$

Приравняем:

$$\frac{9}{4a} = \frac{9}{4} \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Шаг 5. Подставим $a = 1$ в уравнение касательной

Напомним уравнение касательной:

$$y = \frac{3a — 2x}{a^3}$$

Подставим:

$$y = \frac{3 \cdot 1 — 2x}{1} = 3 — 2x$$

Ответ а): $\boxed{y = 3 — 2x}$

б) $y = \frac{1}{x^2}$, где $x < 0$

Аналогично действуем пошагово.

Шаг 1. Производная

Функция:

$$y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}, \quad y’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

Шаг 2. Уравнение касательной

Пусть касательная проводится в точке $x = a$, где $a < 0$

Тогда:

• $y(a) = \frac{1}{a^2}$
• $y'(a) = -\frac{2}{a^3}$

Уравнение касательной:

$$y = \frac{1}{a^2} — \frac{2}{a^3}(x — a) = \frac{a — 2(x — a)}{a^3}$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{a — 2x + 2a}{a^3} = \frac{3a — 2x}{a^3}$$

Шаг 3. Пересечения с осями координат

С осью X:

$$0 = \frac{3a — 2x}{a^3} \Rightarrow 3a — 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3a}{2}$$

Это абсцисса пересечения с осью $x$, и поскольку $a < 0$, то $x < 0$

Чтобы считать длину катета треугольника, берём модуль:

$$|x| = \left| \frac{3a}{2} \right| = -\frac{3a}{2}$$

С осью Y:

Подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$$y(0) = \frac{3a — 0}{a^3} = \frac{3}{a^2}$$

Шаг 4. Площадь треугольника

Площадь:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \left| x \right| \cdot y = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{3a}{2} \right) \cdot \frac{3}{a^2}$$ $$S = -\frac{9}{4a}$$

По условию:

$$S = \frac{9}{8} \Rightarrow -\frac{9}{4a} = \frac{9}{8}$$

Умножим обе части на $4a$:

$$-9 = \frac{9}{8} \cdot 4a \Rightarrow -9 = \frac{36a}{8} \Rightarrow -9 = \frac{9a}{2} \Rightarrow -18 = 9a \Rightarrow a = -2$$

Шаг 5. Подставим $a = -2$ в уравнение касательной

Напомним:

$$y = \frac{3a — 2x}{a^3} \Rightarrow y = \frac{3(-2) — 2x}{(-2)^3} = \frac{-6 — 2x}{-8} = \frac{2x + 6}{8} = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$$

Ответ б): $\boxed{y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}x}$