ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

а) $y = x^3$, где $x > 0$;

Уравнение касательной:

$$y(a) = a^3 \quad \text{и} \quad y'(a) = 3a^2;$$ $$y = a^3 + 3a^2(x — a) = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3;$$

Абсцисса пересечения касательной с осью $x$:

$$0 = 3a^2x — 2a^3;$$ $$a^2(3x — 2a) = 0;$$ $$3x — 2a = 0;$$ $$3x = 2a, \quad \text{отсюда } x = \frac{2a}{3};$$

Ордината пересечения касательной с осью $y$:

$$y(0) = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3;$$

Так как $a > 0$, то $y = 2a^3$ ($y$-длина катета);

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{2}{3}$, значит:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{2}{3};$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot 2a^3 = \frac{2}{3};$$ $$\frac{2a^4}{3} = \frac{2}{3};$$ $$2a^4 = 2;$$ $$a^4 = 1, \quad \text{отсюда } a = 1;$$

Подставим значение:

$$y = 3 \cdot 1^2 \cdot x — 2 \cdot 1^3 = 3x — 2;$$

Ответ: $y = 3x — 2$.

б) $y = x^3$, где $x < 0$;

Уравнение касательной:

$$y(a) = a^3 \quad \text{и} \quad y'(a) = 3a^2;$$ $$y = a^3 + 3a^2(x — a) = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3;$$

Абсцисса пересечения касательной с осью $x$:

$$0 = 3a^2x — 2a^3;$$ $$a^2(3x — 2a) = 0;$$ $$3x — 2a = 0;$$ $$3x = 2a, \quad \text{отсюда } x = \frac{2a}{3};$$

Так как $a < 0$, то $x = -\frac{3a}{2}$ ($x$-длина катета);

Ордината пересечения касательной с осью $y$:

$$y(0) = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3;$$

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{27}{8}$, значит:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{27}{8};$$ $$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2a}{3}\right) \cdot (-2a^3) = \frac{27}{8};$$ $$\frac{2a^4}{3} = \frac{27}{8};$$ $$\frac{16a^4}{24} = \frac{81}{24};$$ $$16a^4 = 81;$$ $$a^4 = \frac{81}{16}, \quad \text{отсюда } a = -\frac{3}{2};$$

Подставим значение:

$$y = 3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \cdot x — 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot x + 2 \cdot \frac{27}{8} = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4};$$

Ответ: $y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.

а) Найти уравнение касательной к графику $y = x^3$, $x > 0$, такая, что отсекаемый ею треугольник на координатных осях имеет площадь $\frac{2}{3}$.

Шаг 1. Выберем точку касания

Пусть касательная проводится к графику функции $y = x^3$ в точке $A(a, a^3)$, где $a > 0$, так как рассматриваем только область $x > 0$.

Шаг 2. Найдём производную функции

Функция:

$$y = x^3$$

Производная функции (производная показывает наклон касательной):

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

В точке $x = a$:

$$y'(a) = 3a^2$$

Это и есть угловой коэффициент касательной в точке $(a, a^3)$.

Шаг 3. Уравнение касательной в точке

Общий вид уравнения касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставляем:

$$y = a^3 + 3a^2(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3$$

Это уравнение касательной к графику в точке $(a, a^3)$.

Шаг 4. Найдём точки пересечения касательной с осями координат

Пересечение с осью $x$ — это когда $y = 0$:

$$0 = 3a^2x — 2a^3 \Rightarrow 3a^2x = 2a^3 \Rightarrow x = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$$

Пересечение с осью $y$ — это когда $x = 0$:

$$y = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3$$

Шаг 5. Выясним координаты точек

Касательная пересекает:

• ось $x$ в точке $\left( \frac{2a}{3}, 0 \right)$
• ось $y$ в точке $\left( 0, -2a^3 \right)$

Эти точки образуют прямоугольный треугольник с катетами:

• по оси $x$: $\frac{2a}{3}$
• по оси $y$: $2a^3$ (берём по модулю, длина всегда положительная)

Шаг 6. Выразим площадь треугольника через $a$

Формула площади прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot 2a^3 = \frac{2a^4}{3}$$

Шаг 7. Приравняем к известной площади

$$\frac{2a^4}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2a^4 = 2 \Rightarrow a^4 = 1 \Rightarrow a = 1 \quad \text{(т.к. } a > 0\text{)}$$

Шаг 8. Подставим $a = 1$ в уравнение касательной

$$y = 3a^2x — 2a^3 = 3 \cdot 1^2 \cdot x — 2 \cdot 1^3 = 3x — 2$$

Ответ (а): $y = 3x — 2$

б) Найти уравнение касательной к графику $y = x^3$, $x < 0$, такая, что отсекаемый ею треугольник на координатных осях имеет площадь $\frac{27}{8}$.

Шаг 1. Выберем точку касания

Пусть касательная проводится в точке $(a, a^3)$, где $a < 0$.

Шаг 2. Производная функции

Как и прежде:

$$y = x^3 \Rightarrow y’ = 3x^2 \Rightarrow y'(a) = 3a^2$$

Шаг 3. Уравнение касательной

$$y = a^3 + 3a^2(x — a) = 3a^2x — 2a^3$$

Шаг 4. Пересечения с осями

С осью $x$ (при $y = 0$):

$$0 = 3a^2x — 2a^3 \Rightarrow x = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$$

Но так как $a < 0$, то $x > 0$, и длина от $x = 0$ до точки пересечения:

$$|x| = \left| \frac{2a}{3} \right| = -\frac{2a}{3}$$

С осью $y$ (при $x = 0$):

$$y = -2a^3 \Rightarrow |y| = 2|a^3|$$

Шаг 5. Площадь треугольника через $a$

$$S = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{2a}{3} \right) \cdot (-2a^3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot 2a^3 = \frac{2a^4}{3}$$

Шаг 6. Приравняем к площади

$$\frac{2a^4}{3} = \frac{27}{8} \Rightarrow 2a^4 = \frac{81}{8} \Rightarrow a^4 = \frac{81}{16} \Rightarrow a = -\left( \frac{81}{16} \right)^{1/4}$$

Но:

$$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} \Rightarrow a = -\frac{3}{2} \quad \text{(т.к. } a < 0\text{)}$$

Шаг 7. Подставим в уравнение касательной

$$y = 3a^2x — 2a^3$$

Подставим $a = -\frac{3}{2}$:

• $a^2 = \left( \frac{9}{4} \right)$
• $a^3 = -\frac{27}{8} \Rightarrow -2a^3 = +\frac{27}{4}$

$$y = 3 \cdot \frac{9}{4}x + \frac{27}{4} = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$$

Ответ (б): $y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$