ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $90^\circ$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = 0,5x^2 — 2,5$, которые пересекаются под углом $90^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

а) $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$ и $B(0; y_0)$;

$k = y’ = (3)’ — \frac{1}{2}(x^2)’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot 2x = -x$;

Данная функция является симметричной, следовательно:

• Точка $B$ принадлежит оси симметрии, то есть $x_0 = 0$;
• Касательные образуют равные острые углы с осью $x$;

Угол между касательными равен $90^\circ$, значит угол с осью $x$:

$$\varphi = \frac{1}{2}(180^\circ — 90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ;$$ $$k = \operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 45^\circ = 1;$$ $$-x = 1, \text{отсюда } a = x = -1;$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = 3 — \frac{1}{2}(-1)^2 = 3 — \frac{1}{2} = 2.5 \quad \text{и} \quad y'(a) = 1;$$ $$y = 2.5 + 1(x + 1) = 2.5 + x + 1 = x + 3.5;$$ $$y(x_0) = 0 + 3.5 = 3.5;$$

Ответ: $B(0; 3.5)$.

б) $y = 0.5x^2 — 2.5$;

$k = y’ = 0.5(x^2)’ — (2.5)’ = 0.5 \cdot 2x — 0 = x$;

Данная функция является симметричной, следовательно:

• Точка пересечения принадлежит оси симметрии, то есть $x_0 = 0$;
• Касательные образуют равные острые углы с осью $x$;

Угол между касательными равен $90^\circ$, значит угол с осью $x$:

$$\varphi = \frac{1}{2}(180^\circ — 90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ;$$ $$k = \operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} (\pm 45^\circ) = \pm 1;$$ $$a = x = \pm 1;$$

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = 0.5 \cdot (-1)^2 — 2.5 = 0.5 — 2.5 = -2 \quad \text{и} \quad y'(a_1) = -1;$$ $$y = -2 — 1(x + 1) = -2 — x — 1 = -x — 3;$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = 0.5 \cdot 1^2 — 2.5 = 0.5 — 2.5 = -2 \quad \text{и} \quad y'(a_2) = 1;$$ $$y = -2 + 1(x — 1) = -2 + x — 1 = x — 3;$$

Ответ: $y = -x — 3; \, y = x — 2$.

а) Найти координаты точки $B$, из которой проведены касательные к графику $y = 3 — \frac{1}{2}x^2$, образующие угол $90^\circ$

Шаг 1. Анализ графика функции

Функция:

$$y = 3 — \frac{1}{2}x^2$$

Это — парабола, ветви которой направлены вниз, так как при $x^2$ стоит отрицательный коэффициент.

Ось симметрии этой параболы — ось $y$, т.е. вертикальная прямая $x = 0$.

Шаг 2. Точка $B$ лежит на оси $y$

По условию:

«На оси $y$ взята точка $B$»

То есть координаты точки $B$ такие:

$$B(0; y_0)$$

где $y_0$ — пока неизвестное значение.

Шаг 3. Построение касательных

Из точки $B$ проведены две касательные к графику функции. Они пересекаются под углом $90^\circ$. Это значит, что:

• Эти касательные проходят через точку $B$;
• Они касаются графика функции в двух разных точках;
• И угол между ними — прямой, т.е. $90^\circ$.

Шаг 4. Найдём производную функции

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно взять производную:

$$y = 3 — \frac{1}{2}x^2$$ $$y’ = \frac{d}{dx}(3) — \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x^2) = 0 — \frac{1}{2} \cdot 2x = -x$$

То есть производная (и одновременно угловой коэффициент касательной в точке $x$) равна $-x$.

Шаг 5. Геометрия: угол между двумя касательными

Условие:

Касательные пересекаются под углом $90^\circ$

Когда две прямые пересекаются под углом $90^\circ$, произведение их угловых коэффициентов равно $-1$:

$$k_1 \cdot k_2 = -1$$

Так как функция симметрична относительно оси $y$, и одна касательная проводится из точки $x = a$, другая — из точки $x = -a$, то:

• $k_1 = -a$
• $k_2 = -(-a) = a$

Теперь:

$$k_1 \cdot k_2 = (-a)(a) = -a^2$$

Чтобы угол был прямым:

$$-a^2 = -1 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Шаг 6. Найдём координаты точки касания

Пусть $a = -1$. Подставим в исходную функцию:

$$y(a) = y(-1) = 3 — \frac{1}{2}(-1)^2 = 3 — \frac{1}{2} = 2.5$$

Производная в этой точке:

$$y'(-1) = -(-1) = 1$$

Теперь составим уравнение касательной к графику в точке $x = -1$. Формула уравнения касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = 2.5 + 1(x — (-1)) = 2.5 + (x + 1) = x + 3.5$$

Это уравнение прямой, проходящей через точку касания и точку $B$. Так как точка $B$ лежит на оси $y$, её координаты $B(0; y_0)$. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$$y(0) = 0 + 3.5 = 3.5 \Rightarrow y_0 = 3.5$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{B(0; \; 3{,}5)}$$

б) Найти уравнения касательных к $y = 0.5x^2 — 2.5$, пересекающихся под углом $90^\circ$, причём точка их пересечения лежит на оси $y$

Шаг 1. Анализ графика

Дана функция:

$$y = 0.5x^2 — 2.5$$

Это парабола, ветви направлены вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положителен.

Шаг 2. Найдём производную

Для касательной нужен угловой коэффициент:

$$y’ = \frac{d}{dx}(0.5x^2 — 2.5) = 0.5 \cdot 2x = x$$

То есть угловой коэффициент касательной в точке $x$ равен $x$.

Шаг 3. Геометрия: угол между касательными

Пусть две касательные проведены в точках $x = -a$ и $x = a$. Производные:

• $k_1 = -a$
• $k_2 = a$

Условие:

$$k_1 \cdot k_2 = -a^2 = -1 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Шаг 4. Первая касательная (в точке $x = -1$)

Значение функции:

$$y(-1) = 0.5 \cdot (-1)^2 — 2.5 = 0.5 — 2.5 = -2$$

Производная:

$$y'(-1) = -1$$

Уравнение касательной:

$$y = y_0 + k(x — x_0) = -2 + (-1)(x + 1) = -2 — x — 1 = -x — 3$$

Шаг 5. Вторая касательная (в точке $x = 1$)

Значение функции:

$$y(1) = 0.5 \cdot 1^2 — 2.5 = 0.5 — 2.5 = -2$$

Производная:

$$y'(1) = 1$$

Уравнение касательной:

$$y = -2 + 1(x — 1) = -2 + x — 1 = x — 3$$

Шаг 6. Точка пересечения касательных

Решим систему:

$$\begin{cases} y = -x — 3 \\ y = x — 3 \end{cases}$$

Приравниваем правые части:

$$-x — 3 = x — 3 \Rightarrow -x — x = -3 + 3 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Найдём $y$:

$$y = -x — 3 = -0 — 3 = -3$$

Значит, точка пересечения:

$$(0; -3)$$

Она действительно лежит на оси $y$.

Ответ к пункту б:

$$\boxed{ \begin{aligned} &y = -x — 3 \\ &y = x — 3 \end{aligned} }$$