ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $60^\circ$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $B(0; \, y_0)$;

$k = y’ = \frac{\sqrt{3}}{2} (x^2)’ + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)’ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x + 0 = x\sqrt{3};$

Данная функция является симметричной, следовательно:

• Точка $B$ принадлежит оси симметрии, то есть $x_0 = 0$;
• Касательные образуют равные острые углы с осью $x$;

Угол между касательными равен $60^\circ$, значит угол с осью $x$:

$$\varphi = \frac{1}{2} (180^\circ — 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ;$$ $$k = \operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3};$$ $$x\sqrt{3} = \sqrt{3}, \text{ отсюда } a = x = 1;$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad y'(a) = \sqrt{3};$$ $$y = \sqrt{3} + \sqrt{3}(x — 1) = \sqrt{3} + x\sqrt{3} — \sqrt{3} = x\sqrt{3};$$ $$y(x_0) = 0 \cdot \sqrt{3} = 0;$$

Ответ: $B(0; \, 0)$.

б) $y = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — x^2)$;

$k = y’ = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — x^2)’ = \frac{\sqrt{3}}{6} \left( (1)’ — (x^2)’ \right) = \frac{\sqrt{3}}{6} (0 — 2x) = -\frac{x\sqrt{3}}{3};$

Данная функция является симметричной, следовательно:

• Точка пересечения принадлежит оси симметрии, то есть $x_0 = 0$;
• Касательные образуют равные острые углы с осью $x$;

Угол между касательными равен $120^\circ$, значит угол с осью $x$:

$$\varphi = \frac{1}{2} (180^\circ — 120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ;$$ $$k = \operatorname{tg} \varphi = \operatorname{tg} (\pm 30^\circ) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$-\frac{x\sqrt{3}}{3} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\frac{x}{\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \text{ отсюда } a = x = \pm 1;$$

Уравнение первой касательной:

$$y(a_1) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — (-1)^2) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — 1) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 0 = 0;$$ $$y'(a_1) = -\frac{(-1) \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$y = 0 + \frac{\sqrt{3}}{3} (x + 1) = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3};$$

Уравнение второй касательной:

$$y(a_2) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — 1^2) = \frac{\sqrt{3}}{6} (1 — 1) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 0 = 0;$$ $$y'(a_2) = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$y = 0 — \frac{\sqrt{3}}{3} (x — 1) = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $$$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}; \quad y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Найти координаты точки $B$, из которой проведены касательные к графику $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, и угол между касательными равен $60^\circ$.

Шаг 1. Анализ функции

Функция:

$$y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

Шаг 2. Симметрия функции

Поскольку в уравнении нет слагаемых с $x$, парабола симметрична относительно оси $y$, то есть относительно прямой $x = 0$.
Следовательно, точка $B$, из которой проведены касательные, находится на оси $y$, т.е. имеет координаты вида $B(0; \, y_0)$.

Шаг 3. Находим производную функции

Для нахождения углов касательных нужно знать их наклон, то есть производную функции $y = f(x)$.

$$y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Продифференцируем:

$$y’ = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2 \right) + \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x + 0 = x\sqrt{3}$$

Таким образом, производная (наклон касательной) в точке $x$ равна:

$$k = y’ = x\sqrt{3}$$

Шаг 4. Геометрия задачи

Дано: касательные, проведённые из одной точки $B(0, y_0)$, образуют угол $60^\circ$ между собой.

Это значит, что:

• обе касательные касаются графика функции в симметричных точках относительно оси $y$, например, в точках $A(-a, y_1)$ и $A'(a, y_2)$,
• углы между касательными к параболе одинаковы,
• каждая касательная образует угол $\varphi$ с осью $x$, причём $2\varphi = 60^\circ$, значит:

  $$\varphi = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Однако в оригинальном решении стоит:

$$\varphi = \dfrac{180^\circ — 60^\circ}{2} = 60^\circ$$

Это верно, так как угол между двумя наклонными касательными $\angle \theta = 60^\circ$, а каждая касательная отклоняется от оси $x$ на $60^\circ$, в противоположные стороны, поэтому разность направлений — это $120^\circ$, а угол между ними — это $60^\circ$.

Поэтому:

$$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$

Шаг 5. Находим точки касания

Поскольку $k = y’ = x \sqrt{3}$, приравниваем:

$$x \sqrt{3} = \sqrt{3} \Rightarrow x = 1$$

Так как функция симметрична, вторая точка будет:

$$x = -1$$

То есть точки касания: $A(1, f(1))$ и $A'(-1, f(-1))$

Шаг 6. Находим координаты точек касания

Подставим $x = 1$ в исходную функцию:

$$f(1) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Точка касания: $A(1, \sqrt{3})$

Аналогично:

$$f(-1) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1)^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Точка касания: $A'(-1, \sqrt{3})$

Шаг 7. Уравнение касательной в точке $A(1, \sqrt{3})$

Формула уравнения касательной в точке $(x_0, y_0)$ к графику:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Здесь:

• $f(x_0) = \sqrt{3}$
• $f'(x_0) = y'(1) = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$
• $x_0 = 1$

Подставим:

$$y = \sqrt{3} + \sqrt{3}(x — 1) = \sqrt{3} + x\sqrt{3} — \sqrt{3} = x\sqrt{3}$$

Шаг 8. Находим точку пересечения касательной с осью $y$

Подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$$y = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$$

Следовательно, точка $B$ лежит на оси $y$ и имеет координаты $(0, 0)$.

Ответ для пункта а):

$$\boxed{B(0; \, 0)}$$

б) Составить уравнения касательных к графику $y = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1 — x^2)$, пересекающихся под углом $120^\circ$ в точке на оси $y$.

Шаг 1. Анализ функции

Функция:

$$y = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1 — x^2)$$

Это парабола, ветви направлены вниз (так как перед $x^2$ минус), симметричная относительно оси $y$.

Шаг 2. Производная функции

Найдём $y’$:

$$y’ = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} (1 — x^2) \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot (-2x) = -\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$$

Значит, наклон касательной в точке $x$:

$$k = -\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 3. Геометрия касательных

Угол между касательными $= 120^\circ$, значит каждая касательная отклоняется от оси $x$ на:

$$\varphi = \dfrac{180^\circ — 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

Следовательно, наклоны касательных равны:

$$k = \tan(\pm 30^\circ) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 4. Приравниваем наклон касательной к производной

Приравниваем производную:

$$-\dfrac{x\sqrt{3}}{3} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Решим для $+ \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$$-\dfrac{x\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = -1$$

Аналогично для $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$:

$$-\dfrac{x\sqrt{3}}{3} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 1$$

Итак, точки касания: $x = \pm 1$

Шаг 5. Найдём координаты точек касания

Подставим в исходную функцию:

• $f(1) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1 — 1) = 0$
• $f(-1) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1 — 1) = 0$

Значит точки касания:

• $A(1, 0)$
• $A'(-1, 0)$

Шаг 6. Найдём производные в этих точках

• $y'(1) = -\dfrac{1 \cdot \sqrt{3}}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• $y'(-1) = -\dfrac{(-1) \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 7. Уравнения касательных

Касательная в $A(-1, 0)$ (с наклоном $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$):

$$y = 0 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

Касательная в $A(1, 0)$ (с наклоном $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$):

$$y = 0 — \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x — 1) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ для пункта б):

$$\boxed{ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \dfrac{\sqrt{3}}{3}; \quad y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \dfrac{\sqrt{3}}{3} }$$