ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 — px$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(2; 3)$?

б) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(3; 2)$?

а) $y = x^3 — px$, $a = 1$ и $(2; 3)$;

Уравнение касательной:

$$y(a) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p;$$ $$y'(a) = (x^3)’ — p(x)’ = 3x^2 — p = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p;$$ $$y = 1 — p + (3 — p)(x — 1);$$ $$y = 1 — p + 3x — 3 — px + p = 3x — 2 — px;$$

Значение параметра:

$$3 = 3 \cdot 2 — 2 — p \cdot 2;$$ $$3 = 6 — 2 — 2p;$$ $$2p = 6 — 2 — 3;$$ $$2p = 1, \text{отсюда } p = 0.5;$$

Ответ: $p = 0.5$.

б) $y = x^3 + px^2$, $a = 1$ и $(3; 2)$;

Уравнение касательной:

$$y(a) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p;$$ $$y'(a) = (x^3)’ + p(x^2)’ = 3x^2 + p \cdot 2x = 3 \cdot 1^2 + p \cdot 2 \cdot 1 = 3 + 2p;$$ $$y = 1 + p + (3 + 2p)(x — 1);$$ $$y = 1 + p + 3x — 3 + 2px — 2p = 3x + 2px — p — 2;$$

Значение параметра:

$$2 = 3 \cdot 3 + 2p \cdot 3 — p — 2;$$ $$2 = 9 + 6p — p — 2;$$ $$2 = 7 + 5p;$$ $$5p = -5, \text{отсюда } p = -1;$$

Ответ: $p = -1$.

а) $y = x^3 — px$, точка касания $a = 1$, и касательная проходит через точку $(2; 3)$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке касания $x = 1$

Функция:

$$y = x^3 — px$$

Подставим $x = 1$:

$$y(1) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p$$

Это значение $y$-координаты точки касания.
Точка касания: $(1; 1 — p)$

Шаг 2. Найдём производную функции $y = x^3 — px$

Вычислим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3 — px) = 3x^2 — p$$

Теперь найдём значение производной в точке $x = 1$:

$$y'(1) = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p$$

Это угловой коэффициент касательной.

Шаг 3. Составим уравнение касательной к графику функции в точке $x = 1$

Общий вид уравнения касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Где:

• $a = 1$
• $y(a) = 1 — p$
• $y'(a) = 3 — p$

Подставим всё:

$$y = (1 — p) + (3 — p)(x — 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 1 — p + (3 — p)(x — 1)$$

Распишем подробнее:

$$= 1 — p + (3 — p)x — (3 — p)$$ $$= (1 — p — 3 + p) + (3 — p)x$$ $$= -2 + (3 — p)x$$

Итак, уравнение касательной:

$$y = (3 — p)x — 2$$

Шаг 4. Подставим точку $(2; 3)$ в уравнение касательной

Так как точка $(2; 3)$ лежит на касательной, то её координаты должны удовлетворять уравнению касательной:

$$3 = (3 — p) \cdot 2 — 2$$

Решим уравнение:

$$3 = 2(3 — p) — 2$$ $$3 = 6 — 2p — 2$$ $$3 = 4 — 2p$$ $$2p = 4 — 3 = 1$$ $$p = \frac{1}{2}$$

Ответ (а): $\boxed{p = \frac{1}{2}}$

б) $y = x^3 + px^2$, точка касания $a = 1$, касательная проходит через точку $(3; 2)$

Шаг 1. Найдём значение функции в точке $x = 1$

Функция:

$$y = x^3 + px^2$$

Подставим $x = 1$:

$$y(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$$

Точка касания: $(1; 1 + p)$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3 + px^2) = 3x^2 + 2px$$

Теперь найдём значение производной в точке $x = 1$:

$$y'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$$

Это угловой коэффициент касательной.

Шаг 3. Составим уравнение касательной к графику функции в точке $x = 1$

Общий вид уравнения касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a)$$

Подставим:

• $y(a) = 1 + p$
• $y'(a) = 3 + 2p$
• $a = 1$

$$y = 1 + p + (3 + 2p)(x — 1)$$

Раскроем скобки:

$$= 1 + p + (3 + 2p)x — (3 + 2p)$$ $$= (1 + p — 3 — 2p) + (3 + 2p)x$$ $$= (-2 — p) + (3 + 2p)x$$

Итак, уравнение касательной:

$$y = (3 + 2p)x — (2 + p)$$

Шаг 4. Подставим точку $(3; 2)$ в уравнение касательной

$$2 = (3 + 2p) \cdot 3 — (2 + p)$$

Решим:

$$2 = 9 + 6p — 2 — p$$ $$2 = 7 + 5p$$ $$5p = 2 — 7 = -5$$ $$p = -1$$

Ответ (б): $\boxed{p = -1}$