ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли прямая $y = 4x — 5$ касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания:

а) $y = x^3 + x^2 — x — 2$;
б) $y = x^3 — 2x^2 — 7x — 13$.

а) $f(x) = x^3 + x^2 — x — 2$ и $y = 4x — 5$;

$k = f'(x) = (x^3)’ + (x^2)’ — (x — 2)’ = 3x^2 + 2x — 1$;

$y = 4x — 5$, то есть $k = 4$:

$3x^2 + 2x — 1 = 4;$
$3x^2 + 2x — 5 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = 1;$

Значение функций при $x = -\frac{5}{3}$:

$f(x_1) = \left( -\frac{5}{3} \right)^3 + \left( -\frac{5}{3} \right)^2 + \frac{5}{3} — 2 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5}{3} — 2 =$
$= \frac{-125 + 75 + 45 — 54}{27} = -\frac{59}{27} = -2 \frac{5}{27};$
$y(x_1) = 4 \cdot \left( -\frac{5}{3} \right) — 5 = -\frac{20}{3} — 5 = \frac{-20 — 15}{3} = -\frac{35}{3} = -11 \frac{2}{3};$
$f(x_1) \neq y(x_1);$

Значение функций при $x = 1$:

$f(x_2) = 1^3 + 1^2 — 1 — 2 = -1;$
$y(x_2) = 4 \cdot 1 — 5 = 4 — 5 = -1;$
$f(x_2) = y(x_2);$

Ответ: $(1; -1)$.

б) $f(x) = x^3 — 2x^2 — 7x — 13$ и $y = 4x — 5$;

$k = f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ — (7x — 13)’ = 3x^2 — 4x — 7$;

$y = 4x — 5$, то есть $k = 4$:

$3x^2 — 4x — 7 = 4;$
$3x^2 — 4x — 11 = 0;$
$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 11 = 16 + 132 = 148, \text{ тогда:}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{37}}{3};$
$x_1 \approx \frac{2 — 6}{3} \approx -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad x_2 \approx \frac{2 + 6}{3} \approx \frac{8}{3};$

Значение функций при $x = -\frac{4}{3}$:

$f(x_1) = \left( -\frac{4}{3} \right)^3 — 2 \left( -\frac{4}{3} \right)^2 — 7 \left( -\frac{4}{3} \right) — 13 = -\frac{64}{27} — \frac{32}{9} + \frac{28}{3} — 13 =$
$= \frac{-64 — 96 + 252 — 351}{27} = -\frac{259}{27} = -9 \frac{16}{27};$
$y(x_1) = 4 \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) — 5 = -\frac{16}{3} — 5 = \frac{-16 — 15}{3} = -\frac{31}{3} = -10 \frac{1}{3};$
$f(x_1) \neq y(x_1);$

Значение функций при $x = \frac{8}{3}$:

$f(x_2) = \left( \frac{8}{3} \right)^3 — 2 \left( \frac{8}{3} \right)^2 — 7 \left( \frac{8}{3} \right) — 13 = \frac{512}{27} — \frac{128}{9} — \frac{56}{3} — 13 =$
$= \frac{512 — 384 — 504 — 351}{27} = -\frac{727}{27} = -26 \frac{25}{27};$
$y(x_2) = 4 \cdot \frac{8}{3} — 5 = \frac{32}{3} — 5 = \frac{32 — 15}{3} = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3};$
$f(x_2) \neq y(x_2);$

Ответ: не является.

а) $f(x) = x^3 + x^2 — x — 2$, прямая $y = 4x — 5$

Надо выяснить, является ли прямая касательной к графику функции. Для этого необходимо:

1. Найти производную $f(x)$ — это даёт нам угловой коэффициент касательной в произвольной точке $x$.
2. Приравнять производную к угловому коэффициенту заданной прямой (то есть 4).
3. Проверить, совпадают ли значения функции $f(x)$ и прямой $y = 4x — 5$ в этой точке — это покажет, действительно ли точка лежит на обеих графиках.

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$

$$f(x) = x^3 + x^2 — x — 2$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(2)$$ $$f'(x) = 3x^2 + 2x — 1$$

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой

Прямая: $y = 4x — 5 \Rightarrow$ угловой коэффициент $k = 4$.

$$f'(x) = 3x^2 + 2x — 1 = 4 \Rightarrow 3x^2 + 2x — 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2 \cdot 3}$$

Находим корни:

• $x_1 = \frac{-2 — 8}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$
• $x_2 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Шаг 3: Проверим значение функции и значение прямой в найденных $x$

Для $x = -\frac{5}{3}$:

Найдём $f\left(-\frac{5}{3}\right)$:

$$f(x) = x^3 + x^2 — x — 2$$ $$f\left(-\frac{5}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2 — \left(-\frac{5}{3}\right) — 2$$ $$= -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5}{3} — 2$$

Приводим к общему знаменателю 27:

• $\frac{25}{9} = \frac{75}{27}$
• $\frac{5}{3} = \frac{45}{27}$
• $2 = \frac{54}{27}$

Теперь подставим:

$$f\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{-125 + 75 + 45 — 54}{27} = \frac{-59}{27}$$ $$f\left(-\frac{5}{3}\right) = -2 \frac{5}{27}$$

Найдём $y\left(-\frac{5}{3}\right)$:

$$y = 4x — 5 \Rightarrow y\left(-\frac{5}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) — 5 = -\frac{20}{3} — 5 = -\frac{20 + 15}{3} = -\frac{35}{3}$$ $$y\left(-\frac{5}{3}\right) = -11 \frac{2}{3}$$

Сравнение:

• $f\left(-\frac{5}{3}\right) = -2 \frac{5}{27}$
• $y\left(-\frac{5}{3}\right) = -11 \frac{2}{3}$

Значения не равны → не точка касания.

Для $x = 1$:

Найдём $f(1)$:

$$f(1) = 1^3 + 1^2 — 1 — 2 = 1 + 1 — 1 — 2 = -1$$

Найдём $y(1)$:

$$y(1) = 4 \cdot 1 — 5 = 4 — 5 = -1$$

Значения равны ⇒ точка $(1, -1)$ лежит на обеих графиках, и производная равна 4 ⇒ это точка касания.

Ответ для а): $(1; -1)$

б) $f(x) = x^3 — 2x^2 — 7x — 13$, прямая $y = 4x — 5$

Шаг 1: Найдём производную

$$f(x) = x^3 — 2x^2 — 7x — 13$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 2\frac{d}{dx}(x^2) — 7\frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(13)$$ $$f'(x) = 3x^2 — 4x — 7$$

Шаг 2: Приравняем к угловому коэффициенту прямой

$$f'(x) = 3x^2 — 4x — 7 = 4 \Rightarrow 3x^2 — 4x — 11 = 0$$ $$D = (-4)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 11 = 16 + 132 = 148$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{37}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{37}}{3}$$

Оставим в таком виде. Для приближённых вычислений:

• $\sqrt{37} \approx 6.08$, тогда:
  • $x_1 \approx \frac{2 — 6.08}{3} \approx -\frac{4.08}{3} \approx -1.36$
  • $x_2 \approx \frac{2 + 6.08}{3} \approx \frac{8.08}{3} \approx 2.69$

Шаг 3: Проверим совпадение значений функции и прямой

Для $x_1 \approx -\frac{4.08}{3} \approx -1.36$:

Подставим приближённое значение $x = -\frac{4}{3}$

Найдём $f(x_1)$:

$$f\left(-\frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 — 2\left(-\frac{4}{3}\right)^2 — 7 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) — 13$$ $$= -\frac{64}{27} — \frac{32}{9} + \frac{28}{3} — 13$$

Приведём к общему знаменателю (27):

• $\frac{32}{9} = \frac{96}{27}$
• $\frac{28}{3} = \frac{252}{27}$
• $13 = \frac{351}{27}$

$$f(x_1) = \frac{-64 — 96 + 252 — 351}{27} = \frac{-259}{27} = -9 \frac{16}{27}$$

Найдём $y(x_1)$:

$$y\left(-\frac{4}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) — 5 = -\frac{16}{3} — 5 = -\frac{16 + 15}{3} = -\frac{31}{3} = -10 \frac{1}{3}$$

Сравнение:

• $f(x_1) = -9 \frac{16}{27}$
• $y(x_1) = -10 \frac{1}{3} = -10 \frac{9}{27}$

Не равны ⇒ не точка касания

Для $x_2 \approx \frac{8}{3}$:

Найдём $f(x_2)$:

$$f\left(\frac{8}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}\right)^3 — 2\left(\frac{8}{3}\right)^2 — 7 \cdot \left(\frac{8}{3}\right) — 13$$ $$= \frac{512}{27} — \frac{128}{9} — \frac{56}{3} — 13$$

Приведём к знаменателю 27:

• $\frac{128}{9} = \frac{384}{27}$
• $\frac{56}{3} = \frac{504}{27}$
• $13 = \frac{351}{27}$

$$f(x_2) = \frac{512 — 384 — 504 — 351}{27} = \frac{-727}{27} = -26 \frac{25}{27}$$

Найдём $y(x_2)$:

$$y\left(\frac{8}{3}\right) = 4 \cdot \frac{8}{3} — 5 = \frac{32}{3} — 5 = \frac{32 — 15}{3} = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$$

Сравнение:

• $f(x_2) = -26 \frac{25}{27}$
• $y(x_2) = 5 \frac{2}{3}$

Не равны ⇒ не точка касания

Ответ для б): не является (прямая не касается графика функции)

Итоговые ответы:

а) Является, точка касания: $\boxed{(1; -1)}$
б) Не является