ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все такие значения параметра $a$, при которых касательные, проведённые к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$, параллельны:

а) $f(x) = x^6$; $g(x) = x^7$;

б) $f(x) = x^4$; $g(x) = x^5$.

а) $f(x) = x^6$ и $g(x) = x^7$;

Угловые коэффициенты касательных:
$k_1 = f'(a) = (x^6)’ = 6x^5 = 6a^5;$
$k_2 = g'(a) = (x^7)’ = 7x^6 = 7a^6;$

Значения параметра $a$:
$6a^5 = 7a^6;$
$6a^5 — 7a^6 = 0;$
$a^5(6 — 7a) = 0;$
$a = 0 \text{ или } a = \frac{6}{7};$

При $a = 0$ касательные совпадают:
$f(0) = g(0) = 0, \text{ значит } a = \frac{6}{7};$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

б) $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^5$;

Угловые коэффициенты касательных:
$k_1 = f'(a) = (x^4)’ = 4x^3 = 4a^3;$
$k_2 = g'(a) = (x^5)’ = 5x^4 = 5a^4;$

Значения параметра $a$:
$4a^3 = 5a^4;$
$4a^3 — 5a^4 = 0;$
$a^3(4 — 5a) = 0;$
$a = 0 \text{ или } a = \frac{4}{5};$

При $a = 0$ касательные совпадают:
$f(0) = g(0) = 0, \text{ значит } a = \frac{4}{5};$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

Найдите все такие значения параметра $a$, при которых касательные, проведённые к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$, параллельны.

а) $f(x) = x^6$, $g(x) = x^7$

Шаг 1. Угловые коэффициенты касательных

Касательная к графику функции в точке $(a, f(a))$ имеет угловой коэффициент, равный производной функции в этой точке, то есть $k = f'(a)$.

Найдём производную функции $f(x) = x^6$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5$$

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $f(x)$ в точке $x = a$:

$$k_1 = f'(a) = 6a^5$$

Найдём производную функции $g(x) = x^7$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$$

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $g(x)$ в точке $x = a$:

$$k_2 = g'(a) = 7a^6$$

Шаг 2. Касательные параллельны

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

$$k_1 = k_2$$

Подставим найденные выражения:

$$6a^5 = 7a^6$$

Шаг 3. Решим уравнение

Перенесём всё в одну часть:

$$6a^5 — 7a^6 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$a^5(6 — 7a) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• $a^5 = 0$ → $a = 0$
• $6 — 7a = 0$ → $a = \frac{6}{7}$

Таким образом, получаем два возможных значения: $a = 0$ и $a = \frac{6}{7}$.

Шаг 4. Проверим, когда касательные действительно разные

При $a = 0$:

• $f(0) = 0^6 = 0$
• $g(0) = 0^7 = 0$

Обе функции проходят через точку $(0, 0)$, и производные в этой точке:

• $f'(0) = 6 \cdot 0^5 = 0$
• $g'(0) = 7 \cdot 0^6 = 0$

То есть касательные совпадают: они не только параллельны, но и лежат на одной прямой. По условию задачи нас интересуют разные касательные, которые просто параллельны, а не совпадают.

Следовательно, значение $a = 0$ не подходит.

Ответ для пункта а):

$$\boxed{\frac{6}{7}}$$

б) $f(x) = x^4$, $g(x) = x^5$

Шаг 1. Угловые коэффициенты касательных

Найдём производную функции $f(x) = x^4$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$$

Следовательно:

$$k_1 = f'(a) = 4a^3$$

Найдём производную функции $g(x) = x^5$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$$

Следовательно:

$$k_2 = g'(a) = 5a^4$$

Шаг 2. Касательные параллельны

$$k_1 = k_2 \Rightarrow 4a^3 = 5a^4$$

Шаг 3. Решим уравнение

Переносим всё в одну часть:

$$4a^3 — 5a^4 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$a^3(4 — 5a) = 0$$

Решим:

• $a^3 = 0$ → $a = 0$
• $4 — 5a = 0$ → $a = \frac{4}{5}$

Итак, два возможных значения: $a = 0$ и $a = \frac{4}{5}$

Шаг 4. Проверка: совпадают ли касательные при $a = 0$

• $f(0) = 0^4 = 0$
• $g(0) = 0^5 = 0$

Обе функции проходят через точку $(0, 0)$, производные:

• $f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
• $g'(0) = 5 \cdot 0^4 = 0$

Значит, обе касательные совпадают (лежит на оси $x$, горизонтальная касательная). Такое значение не подходит.

Ответ для пункта б):

$$\boxed{\frac{4}{5}}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{\frac{6}{7}}$
б) $\boxed{\frac{4}{5}}$