ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = ax + 1$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x + 1}$?

б) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = 2x + a$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x — 1}$?

а) $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ и $y = ax + 1$;

$k = f'(x) = (\sqrt{4x + 1})’ = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$.

$y = ax + 1$, то есть $k = a$:

$\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} = a;$

Функции касаются, значит $f(x) = y(x)$:

$\frac{2x}{\sqrt{4x + 1}} + 1 = \sqrt{4x + 1};$
$2x + \sqrt{4x + 1} = 4x + 1;$
$\sqrt{4x + 1} = 2x + 1;$
$4x + 1 = 4x^2 + 4x + 1;$
$4x^2 = 0, \text{отсюда } x = 0;$
$a = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 0 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2;$

Ответ: $a = 2$.

б) $f(x) = \sqrt{4x — 1}$ и $y = 2x + a$;

$k = f'(x) = (\sqrt{4x — 1})’ = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x — 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x — 1}}$.

$y = 2x + a$, то есть $k = 2$:

$\frac{2}{\sqrt{4x — 1}} = 2;$
$\frac{1}{\sqrt{4x — 1}} = 1;$
$1 = \sqrt{4x — 1};$
$1 = 4x — 1;$
$4x = 2, \text{отсюда } x = 0{,}5;$

Функции касаются, значит $f(x) = y(x)$:

$\sqrt{4 \cdot 0{,}5 — 1} = 2 \cdot 0{,}5 + a;$
$\sqrt{2 — 1} = 1 + a;$
$1 = 1 + a, \text{отсюда } a = 0;$

Ответ: $a = 0$.

а) $f(x) = \sqrt{4x + 1}$, прямая $y = ax + 1$

Шаг 1: Производная функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = \sqrt{4x + 1} = (4x + 1)^{1/2}$$

Используем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(4x + 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$$

Таким образом:

$$k = f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$$

Шаг 2: Найдём точку касания

Прямая имеет вид:

$$y = ax + 1$$

Чтобы прямая касалась графика функции, должны выполняться два условия:

Условие 1: У равенств $f(x) = y(x)$ — т.е. они пересекаются

$$\sqrt{4x + 1} = ax + 1$$

Условие 2: У них равны производные (т.е. одинаковый наклон в точке касания)

Производная функции в точке касания:

$$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}} = a$$

Шаг 3: Совместим условия

Из условия касания:

$$\sqrt{4x + 1} = ax + 1 \tag{1}$$

Из производной:

$$a = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}} \tag{2}$$

Подставим (2) в (1):

Пусть $y = \sqrt{4x + 1}$, тогда:

$$y = ax + 1 \Rightarrow ax = y — 1 \Rightarrow a = \frac{y — 1}{x}$$

Но из (2):

$$a = \frac{2}{y}$$

Приравниваем:

$$\frac{y — 1}{x} = \frac{2}{y} \Rightarrow (y — 1)y = 2x \Rightarrow y^2 — y = 2x \tag{3}$$

Но по определению $y = \sqrt{4x + 1}$, т.е. $y^2 = 4x + 1$, отсюда:

$$x = \frac{y^2 — 1}{4} \tag{4}$$

Подставим (4) в (3):

$$y^2 — y = 2 \cdot \frac{y^2 — 1}{4} \Rightarrow y^2 — y = \frac{y^2 — 1}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$2y^2-2y=y^2-1\Rightarrow 2y^2-2y-y^2+1=0\Rightarrow y^2-2y+1=0\Rightarrow$$

$$2y^2 — 2y = y^2 — 1 \Rightarrow 2y^2 — 2y — y^2 + 1 = 0 \Rightarrow y^2 — 2y + 1 = 0 \Rightarrow (y — 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1$$

Подставим $y = 1$ в (4):

$$x = \frac{1^2 — 1}{4} = 0$$

Теперь найдём $a$ по формуле из шага 2:

$$a = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{a = 2}$$

б) $f(x) = \sqrt{4x — 1}$, прямая $y = 2x + a$

Шаг 1: Производная функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = \sqrt{4x — 1} = (4x — 1)^{1/2}$$

По правилу производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(4x — 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x — 1}}$$

Прямая имеет коэффициент наклона $k = 2$, значит:

$$\frac{2}{\sqrt{4x — 1}} = 2$$

Шаг 2: Найдём точку касания

$$\frac{2}{\sqrt{4x-1}}=2\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4x-1}}=1\Rightarrow \sqrt{4x-1}=1\Rightarrow 4x-1=1\Rightarrow$$

$$\frac{2}{\sqrt{4x — 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4x — 1}} = 1 \Rightarrow \sqrt{4x — 1} = 1 \Rightarrow 4x — 1 = 1 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём $a$ из уравнения касания

Значения в точке касания:

$$f(x) = \sqrt{4x — 1} = \sqrt{2 — 1} = \sqrt{1} = 1$$ $$y = 2x + a = 2 \cdot \frac{1}{2} + a = 1 + a$$

Приравниваем:

$$f(x) = y(x) \Rightarrow 1 = 1 + a \Rightarrow a = 0$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{a = 0}$$