ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) К графику функции $y = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, проведена касательная, параллельная прямой $y — 4x — 1 = 0$. Найдите ординату точки касания.

б) К графику функции $y = 2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, проведена касательная, параллельная прямой $3y — 6x + 2 = 0$. Найдите ординату точки касания.

а) $f(x) = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ и $y — 4x — 1 = 0$;

$f(x) = 1 — \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x$;

$f'(x) = (1)’ — (\cos 2x)’ + \sqrt{3}(\sin 2x)’ = 0 + 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x$;

$k = 4 \left( \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x \right) = 4 \left( \sin \frac{\pi}{6} \sin 2x + \cos \frac{\pi}{6} \cos 2x \right) =$

$k = 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right)$;

$y — 3x — 1 = 0$, отсюда $y = 4x + 1$, то есть $k = 4$:

$4 \cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = 4$;

$\cos \left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = 1$;

$\frac{\pi}{6} — 2x = \pm \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$;

$-2x = 2\pi n — \frac{\pi}{6}$, отсюда $x = \frac{\pi}{12} — \pi n$;

В заданном промежутке $x = \frac{\pi}{12}$, значит:

$f(x) = 1 — \cos \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} = 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$;

Ответ: $y = 1$.

б) $f(x) = 2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ и $3y — 6x + 2 = 0$;

$f(x) = 1 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x$;

$f'(x) = (1)’ + (\cos 2x)’ + \sqrt{3}(\sin 2x)’ = 0 — 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x$;

$k = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x — \frac{1}{2} \sin 2x \right) = 4 \left( \cos \frac{\pi}{6} \cos 2x — \sin \frac{\pi}{6} \sin 2x \right) =$

$k = 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + 2x \right)$;

$3y — 6x + 2 = 0$, отсюда $y = 2x — \frac{2}{3}$, то есть $k = 2$:

$4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + 2x \right) = 2$;

$\cos \left( \frac{\pi}{6} + 2x \right) = \frac{1}{2}$;

$\frac{\pi}{6} + 2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

$2x_1 = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, отсюда $x_1 = \pi n — \frac{\pi}{4}$;

$2x_2 = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, отсюда $x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi n$;

В заданном промежутке $x = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, значит:

$f(x) = 1 + \cos \frac{3\pi}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{3\pi}{2} = 1 + 0 + \sqrt{3} \cdot (-1) = 1 — \sqrt{3}$;

Ответ: $y = 1 — \sqrt{3}$.

а)

Условие:

К графику функции

$$f(x) = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x, \quad x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$$

проведена касательная, параллельная прямой

$$y — 4x — 1 = 0.$$

Найти ординату точки касания.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x.$$

Заметим, что:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 x = 1 — \cos 2x.$$

Тогда:

$$f(x) = 1 — \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x.$$

Теперь найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 — \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x \right).$$

Пояснение:

• Производная от $1$ — ноль.
• Производная от $\cos 2x$ — по правилу цепной производной:

  $$\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -2 \sin 2x.$$

• Производная от $\sin 2x$:

  $$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x.$$

Теперь подставим:

$$f'(x) = 0 + 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x.$$

Шаг 2: Найдём угловой коэффициент касательной

Нам говорят, что касательная параллельна прямой:

$$y — 4x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 4x + 1.$$

Следовательно, угловой коэффициент (наклон) касательной равен:

$$k = 4.$$

Шаг 3: Приравниваем производную к 4 и решаем уравнение

$$f'(x) = 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x = 4.$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2.$$

Применим формулу приведения к одной тригонометрической функции:

$$a \sin \theta + b \cos \theta = R \cos(\theta — \alpha),$$

где

$$R = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \alpha = \arctan \left( \frac{a}{b} \right).$$

Здесь:

• $a = 1$,
• $b = \sqrt{3}$,
• $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$,
• $\alpha = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$.

Тогда:

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right).$$

Значит:

$$2 \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = 2 \quad \Rightarrow \quad \cos\left( \frac{\pi}{6} — 2x \right) = 1.$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos(\frac{\pi}{6} — 2x) = 1$

$$\cos \theta = 1 \Rightarrow \theta = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Значит:

$$\frac{\pi}{6} — 2x = 2\pi n.$$

Решаем относительно $x$:

$$-2x = 2\pi n — \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{12} — \pi n.$$

Шаг 5: Подбираем значение $x$ из допустимого промежутка $\left[0; \frac{\pi}{2} \right]$

Положим $n = 0$, тогда:

$$x = \frac{\pi}{12} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right].$$

Шаг 6: Подставим $x = \frac{\pi}{12}$ в функцию $f(x)$

Напомним:

$$f(x) = 1 — \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x.$$

Вычислим:

• $2x = \frac{\pi}{6}$,
• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Тогда:

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 1.$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{y = 1}$$

б)

Условие:

К графику функции

$$f(x) = 2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x, \quad x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$$

проведена касательная, параллельная прямой

$$3y — 6x + 2 = 0.$$

Найти ординату точки касания.

Шаг 1: Упростим функцию

Заметим:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x.$$

Тогда:

$$f(x) = 1 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x.$$

Шаг 2: Найдём производную

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x\right) = 0 — 2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x.$$

Шаг 3: Найдём наклон касательной

Прямая:

$$3y — 6x + 2 = 0 \Rightarrow y = 2x — \frac{2}{3}, \quad \text{значит } k = 2.$$

Шаг 4: Приравниваем производную к 2

$$f'(x) = -2 \sin 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x = 2.$$

Разделим на 2:

$$-\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 1.$$

Приводим к одной триг. функции:

$$R = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, \quad \alpha = \arctan\left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Значит:

$$-\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} + 2x \right).$$

Решаем:

$$2 \cos\left( \frac{\pi}{6} + 2x \right) = 1 \Rightarrow \cos\left( \frac{\pi}{6} + 2x \right) = \frac{1}{2}.$$

Шаг 5: Решаем уравнение

$$\cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$ $$\frac{\pi}{6} + 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Первый вариант:

$$\frac{\pi}{6} + 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{12}.$$

Второй вариант:

$$\frac{\pi}{6} + 2x = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4}.$$

Остальные решения:

$$x_1 = \pi n — \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi n.$$

Шаг 6: Выбираем корень из промежутка $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$

Пробуем $n = 1$ в $x_1$:

$$x_1 = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Этот $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, подойдёт.

Шаг 7: Подставим $x = \frac{3\pi}{4}$ в функцию

$$f(x) = 1 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x, \quad 2x = \frac{3\pi}{2}.$$

• $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$,
• $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$.

$$f\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 1 + 0 + \sqrt{3} \cdot (-1) = 1 — \sqrt{3}.$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{y = 1 — \sqrt{3}}$$