ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите наименьшее положительное значение $x$, при котором касательные к графикам функций $y = 3 \cos \frac{5x}{2}$ и $y = 5 \cos \frac{3x}{2} + 2$ параллельны.

б) Найдите наибольшее отрицательное значение $x$, при котором касательные к графикам функций $y = 2 — 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ параллельны.

а) $f(x) = 3 \cos \frac{5x}{2}$ и $g'(x) = 5 \cos \frac{3x}{2} + 2$;

$f'(x) = 3 \left( \cos \frac{5x}{2} \right)’ = 3 \cdot \left( -\frac{5}{2} \sin \frac{5x}{2} \right) = -\frac{15}{2} \sin \frac{5x}{2};$

$g'(x) = 5 \left( \cos \frac{3x}{2} \right) + (2)’ = 5 \cdot \left( -\frac{3}{2} \sin \frac{3x}{2} \right) + 0 = -\frac{15}{2} \sin \frac{3x}{2};$

Касательные параллельны при:

$$-\frac{15}{2} \sin \frac{5x}{2} = -\frac{15}{2} \sin \frac{3x}{2};$$ $$\sin \frac{5x}{2} = \sin \frac{3x}{2};$$ $$\sin \frac{5x}{2} — \sin \frac{3x}{2} = 0;$$ $$2 \cdot \sin \left( \frac{\frac{5x}{2} — \frac{3x}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}}{2} \right) = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos 2x = 0;$$

$\sin \frac{x}{2} = 0;$

$$\frac{x}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \text{отсюда } x = 2\pi n;$$ $$x_{\text{min}} = 2\pi \cdot 1 = 2\pi;$$

$\cos 2x = 0;$

$$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{отсюда } x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$ $$x_{\text{min}} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) $f(x) = 2 — 14 \sin 3x$ и $g'(x) = 6 \sin 7x;$

$f'(x) = (2)’ — 14 (\sin 3x)’ = 0 — 14 \cdot 3 \cos 3x = -42 \cos 3x;$

$g'(x) = 6 (\sin 7x)’ = 6 \cdot 7 \cos 7x = 42 \cos 7x;$. Касательные параллельны при:

$$42 \cos 7x = -42 \cos 3x;$$ $$\cos 7x = -\cos 3x;$$ $$\cos 7x + \cos 3x = 0;$$ $$2 \cdot \cos \left( \frac{7x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x — 3x}{2} \right) = 0;$$ $$2 \cdot \cos 5x \cdot \cos 2x = 0;$$

$\cos 5x = 0;$

$$5x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{отсюда } x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5};$$ $$x_{\text{max}} = \frac{\pi}{10} — \frac{\pi}{5} = \frac{\pi — 2\pi}{10} = -\frac{\pi}{10};$$

$\cos 2x = 0;$

$$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{отсюда } x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$ $$x_{\text{max}} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi — 2\pi}{2} = -\frac{\pi}{2};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{10}$.

а) Найдите наименьшее положительное значение $x$, при котором касательные к графикам функций $y = 3 \cos \frac{5x}{2}$ и $y = 5 \cos \frac{3x}{2} + 2$ параллельны.

Шаг 1: Понять условие

Касательные к графикам параллельны ⇔ производные (угловые коэффициенты касательных) равны.

То есть, если функции $f(x)$ и $g(x)$, то:

$$f'(x) = g'(x)$$

Шаг 2: Найдём производные функций

1-я функция:

$$f(x) = 3 \cos \left( \frac{5x}{2} \right)$$

По формуле производной сложной функции:

$$\frac{d}{dx} [\cos(u)] = -\sin(u) \cdot u’$$

Здесь $u = \frac{5x}{2} \Rightarrow u’ = \frac{5}{2}$

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx} \left[ \cos \left( \frac{5x}{2} \right) \right] = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \frac{5}{2} \right) = -\frac{15}{2} \sin \left( \frac{5x}{2} \right)$$

2-я функция:

$$g(x) = 5 \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + 2$$

Константа $2$ исчезает при дифференцировании.

$$g'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx} \left[ \cos \left( \frac{3x}{2} \right) \right] = 5 \cdot \left( -\sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cdot \frac{3}{2} \right) = -\frac{15}{2} \sin \left( \frac{3x}{2} \right)$$

Шаг 3: Приравниваем производные

$$-\frac{15}{2} \sin \left( \frac{5x}{2} \right) = -\frac{15}{2} \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \Rightarrow \sin \left( \frac{5x}{2} \right) = \sin \left( \frac{3x}{2} \right)$$

Шаг 4: Применяем формулу разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Применим к нашей разности:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) — \sin \left( \frac{3x}{2} \right) = 0 \Rightarrow 2 \sin \left( \frac{\frac{5x}{2} — \frac{3x}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}}{2} \right) = 0$$

Считаем:

• Разность: $\frac{5x}{2} — \frac{3x}{2} = x \Rightarrow \frac{x}{2}$
• Сумма: $\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} = 4x \Rightarrow \frac{4x}{2} = 2x$

Итак:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos (2x) = 0$$

Шаг 5: Решаем уравнение

Уравнение имеет вид:

$$2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos (2x) = 0 \Rightarrow \sin \left( \frac{x}{2} \right) = 0 \quad \text{или} \quad \cos(2x) = 0$$

1) Решим: $\sin \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

$$\frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Найменьшее положительное при $n = 1$:

$$x = 2\pi$$

2) Решим: $\cos (2x) = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Найменьшее положительное при $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 6: Сравниваем

Из двух решений:

• $x = 2\pi \approx 6.28$
• $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$

Наименьшее положительное:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4}}$$

б) Найдите наибольшее отрицательное значение $x$, при котором касательные к графикам функций $y = 2 — 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ параллельны.

Шаг 1: Найдём производные функций

1-я функция:

$$f(x) = 2 — 14 \sin 3x \Rightarrow f'(x) = 0 — 14 \cdot 3 \cos 3x = -42 \cos 3x$$

2-я функция:

$$g(x) = 6 \sin 7x \Rightarrow g'(x) = 6 \cdot 7 \cos 7x = 42 \cos 7x$$

Шаг 2: Приравниваем производные

Касательные параллельны ⇔ производные равны:

$$-42 \cos 3x = 42 \cos 7x \Rightarrow \cos 7x = -\cos 3x \Rightarrow \cos 7x + \cos 3x = 0$$

Шаг 3: Применим формулу суммы косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$\cos 7x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{7x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x — 3x}{2} \right) = 2 \cos 5x \cdot \cos 2x$$

Условие превращается в:

$$2 \cos 5x \cdot \cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 5x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x = 0$$

Шаг 4: Решаем оба случая

1) $\cos 5x = 0$

$$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$$

Ищем наибольшее отрицательное значение:

Пусть $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{10} — \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{10}$$

2) $\cos 2x = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Пусть $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 5: Сравниваем

Из двух вариантов:

• $-\frac{\pi}{10} \approx -0.314$
• $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$

Наибольшее отрицательное значение:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{10}}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{\frac{\pi}{4}}$

б) $\boxed{-\frac{\pi}{10}}$