ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Точка $A$ с абсциссой $-1$ и точка $B$ с абсциссой $1$ принадлежат графику функции $y = 2x^3 + 3x^2 — \frac{x}{2} + 1$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой $AB$.

б) Точка $A$ с абсциссой $-3$ и точка $B$ с абсциссой $3$ принадлежат графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 — 2x^2 — 22x — 28$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой $AB$.

а) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 — \frac{x}{2} + 1$, $A(-1; y_1)$ и $B(1; y_2)$;

Ординаты данных точек:

$$y_1 = f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — \frac{1}{2} + 1 = -2 + 3 + 1,5 = 2,5;$$ $$y_2 = f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 — \frac{1}{2} + 1 = 2 + 3 + 0,5 = 5,5;$$

Угловой коэффициент:

$$k = f'(x) = 2(x^3)’ + 3(x^2)’ — \left(\frac{1}{2}x — 1\right)’ = 6x^2 + 6x — 0,5;$$ $$k = \frac{5,5 — 2,5}{1 — (-1)} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1,5;$$

Абсциссы точек касания:

$$6x^2 + 6x — 0,5 = 1,5;$$ $$6x^2 + 6x — 2 = 0;$$ $$3x^2 + 3x — 1 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21, \text{ тогда: }$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2};$$ $$x_1 + x_2 = \frac{-1 — \sqrt{21}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{-2}{2} = -1;$$

Ответ: $-1$.

б) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — 2x^2 — 22x — 28$, $A(-3; y_1)$ и $B(3; y_2)$;

Ординаты данных точек:

$$y_1 = f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 — 2 \cdot (-3)^2 + 22 \cdot 3 — 28 = -9 — 18 + 66 — 28 = 11;$$

Угловой коэффициент:

$$k = f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — 2(x^2)’ — (22x + 28)’ = x^2 — 4x — 22;$$ $$k = \frac{-103 — 11}{3 — (-3)} = \frac{-114}{6} = -19;$$

Абсциссы точек касания:

$$x^2 — 4x — 22 = -19;$$ $$x^2 — 4x — 3 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28, \text{ тогда: }$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7};$$ $$x_1 + x_2 = 2 — \sqrt{7} + 2 + \sqrt{7} = 4;$$

Ответ: $4$.

а)

Дана функция:

$$f(x) = 2x^3 + 3x^2 — \frac{x}{2} + 1$$

И две точки:
$A(-1; y_1)$ и $B(1; y_2)$, которые принадлежат графику этой функции. Это значит, что координаты этих точек можно найти, подставив значения $x = -1$ и $x = 1$ в формулу функции.

1) Найдём ординаты точек A и B.

Точка A:

$$y_1 = f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — \frac{-1}{2} + 1$$

Рассчитаем по действиям:

• $(-1)^3 = -1$
• $2 \cdot (-1) = -2$
• $(-1)^2 = 1$, и $3 \cdot 1 = 3$
• $-\frac{-1}{2} = +\frac{1}{2}$
• Остаток: $+1$

Теперь всё складываем:

$$y_1 = -2 + 3 + \frac{1}{2} + 1 = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} = 2{,}5$$

Точка B:

$$y_2 = f(1) = 2 \cdot (1)^3 + 3 \cdot (1)^2 — \frac{1}{2} + 1$$

• $1^3 = 1$, $2 \cdot 1 = 2$
• $1^2 = 1$, $3 \cdot 1 = 3$
• $-\frac{1}{2} = -0{,}5$
• $+1$

Суммируем:

$$y_2 = 2 + 3 — 0{,}5 + 1 = 5{,}5$$

2) Найдём угловой коэффициент прямой AB.

Формула для углового коэффициента между двумя точками:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}$$

Подставляем:

$$k = \frac{5{,}5 — 2{,}5}{1 — (-1)} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

3) Найдём производную функции $f(x)$.

Функция:

$$f(x) = 2x^3 + 3x^2 — \frac{x}{2} + 1$$

Берём производную каждого слагаемого:

• Производная $2x^3$ = $6x^2$
• Производная $3x^2$ = $6x$
• Производная $-\frac{x}{2}$ = $-\frac{1}{2}$
• Производная константы $+1$ = $0$

Итак:

$$f'(x) = 6x^2 + 6x — \frac{1}{2}$$

4) Найдём абсциссы точек, в которых касательная параллельна прямой AB.

Для этого приравниваем производную к угловому коэффициенту:

$$f'(x) = 1{,}5$$ $$6x^2 + 6x — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$12x^2 + 12x — 1 = 3 \Rightarrow 12x^2 + 12x — 4 = 0$$

Разделим на 4:

$$3x^2 + 3x — 1 = 0$$

5) Решим квадратное уравнение.

$$3x^2 + 3x — 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21$$

Корни:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$$

6) Найдём сумму абсцисс этих точек.

$$x_1 + x_2 = \frac{-1 — \sqrt{21}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

б)

Функция:

$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 — 2x^2 — 22x — 28$$

Точки: $A(-3; y_1)$, $B(3; y_2)$

1) Найдём ординаты точек.

Точка A:

$$y_1 = f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 — 2 \cdot (-3)^2 — 22 \cdot (-3) — 28$$

Рассчитаем:

• $(-3)^3 = -27$, $\frac{1}{3} \cdot (-27) = -9$
• $(-3)^2 = 9$, $-2 \cdot 9 = -18$
• $-22 \cdot (-3) = +66$
• $-28$

Суммируем:

$$y_1 = -9 — 18 + 66 — 28 = 11$$

Точка B:

$$y_2 = f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 — 2 \cdot 9 — 22 \cdot 3 — 28$$

• $\frac{1}{3} \cdot 27 = 9$
• $-2 \cdot 9 = -18$
• $-22 \cdot 3 = -66$
• $-28$

Суммируем:

$$y_2 = 9 — 18 — 66 — 28 = -103$$

2) Угловой коэффициент прямой AB:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{-103 — 11}{3 — (-3)} = \frac{-114}{6} = -19$$

3) Найдём производную функции $f(x)$:

$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 — 2x^2 — 22x — 28$$

Берём производную:

• $\left(\frac{1}{3}x^3\right)’ = x^2$
• $(-2x^2)’ = -4x$
• $(-22x)’ = -22$
• Константа $-28$ исчезает

Итак:

$$f'(x) = x^2 — 4x — 22$$

4) Приравниваем производную к угловому коэффициенту:

$$x^2 — 4x — 22 = -19 \Rightarrow x^2 — 4x — 3 = 0$$

5) Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — 4x — 3 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$$

Корни:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$$

6) Найдём сумму абсцисс этих точек:

$$x_1 + x_2 = (2 — \sqrt{7}) + (2 + \sqrt{7}) = 4$$

Ответ:

$$\boxed{4}$$