ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $y = x^2 — x + 1$ и $y = x^2 + 5x + 4$.

б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций $y = x^2$ и $y = -x^2 — 8$.

а) $y = x^2 — x + 1$ и $y = x^2 + 5x + 4$;

Уравнение касательной первой функции:

$$y(a) = a^2 — a + 1;$$ $$y'(a) = (x^2)’ — (x — 1)’ = 2x — 1 = 2a — 1;$$ $$y = a^2 — a + 1 + (2a — 1)(x — a);$$ $$y = a^2 — a + 1 + 2ax — 2a^2 — x + a = 2ax — x + 1 — a^2;$$

Уравнение касательной второй функции:

$$y(b) = b^2 + 5b + 4;$$ $$y'(b) = (x^2)’ + (5x + 4)’ = 2x + 5 = 2b + 5;$$ $$y = b^2 + 5b + 4 + (2b + 5)(x — b);$$ $$y = b^2 + 5b + 4 + 2bx + 5x — 2b^2 — 5b = 2bx + 5x + 4 — b^2;$$

Касательные параллельны:

$$2a — 1 = 2b + 5;$$ $$2a = 2b + 6, \text{ отсюда } a = b + 3;$$

Касательные совпадают:

$$2ax — x + 1 — a^2 = 2bx + 5x + 4 — b^2;$$ $$2x(b + 3) — x + 1 — (b + 3)^2 = 2bx + 5x + 4 — b^2;$$ $$2xb + 6x — x + 1 — b^2 — 6b — 9 — 2bx — 5x — 4 + b^2 = 0;$$ $$-6b — 12 = 0;$$ $$6b = -12, \text{ отсюда } b = -2;$$

Общая касательная:

$$y = -2 \cdot 2x + 5x + 4 — (-2)^2 = -4x + 5x + 4 — 4 = x;$$

Ответ: $y = x$.

б) $y = x^2$ и $y = -x^2 — 8$;

Уравнение касательной первой функции:

$$y(a) = a^2;$$ $$y'(a) = (x^2)’ = 2x = 2a;$$ $$y = a^2 + 2a(x — a) = a^2 + 2ax — 2a^2 = 2ax — a^2;$$

Уравнение касательной второй функции:

$$y(b) = -b^2 — 8;$$ $$y'(b) = -(x^2)’ — (8)’ = -2x — 0 = -2b;$$ $$y = -b^2 — 8 — 2b(x — b) = -b^2 — 8 — 2bx + 2b^2 = b^2 — 2bx — 8;$$

Касательные параллельны:

$$2a = -2b, \text{ отсюда } a = -b;$$

Касательные совпадают:

$$2ax — a^2 = b^2 — 2bx — 8;$$ $$-2bx — (-b)^2 = b^2 — 2bx — 8;$$ $$-2bx — b^2 — b^2 + 2bx + 8 = 0;$$ $$-2b^2 + 8 = 0;$$ $$2b^2 = 8;$$ $$b^2 = 4, \text{ отсюда } b = \pm 2;$$

Общие касательные:

$$y_1 = (-2)^2 — 2 \cdot (-2)x — 8 = 4 + 4x — 8 = 4x — 4;$$ $$y_2 = 2^2 — 2 \cdot 2x — 8 = 4 — 4x — 8 = -4x — 4;$$

Точка их пересечения:

$$4x — 4 = -4x — 4;$$ $$8x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$ $$y = 4 \cdot 0 — 4 = -4;$$

Ответ: $(0; -4)$.

а) Найти уравнение общей касательной к графикам функций:

$$y_1 = x^2 — x + 1, \quad y_2 = x^2 + 5x + 4$$

Шаг 1. Найдём уравнение касательной к $y_1 = x^2 — x + 1$ в точке $x = a$

Функция:

$$y_1(x) = x^2 — x + 1$$

Производная (находим по правилу суммы производных):

$$y_1′(x) = (x^2)’ — (x)’ + (1)’ = 2x — 1 + 0 = 2x — 1$$

В точке $x = a$ касательная имеет наклон:

$$k_1 = y_1′(a) = 2a — 1$$

Значение функции в точке $x = a$:

$$y_1(a) = a^2 — a + 1$$

Уравнение касательной в точке $a$:

$$y = y_1(a) + k_1(x — a)$$ $$y = a^2 — a + 1 + (2a — 1)(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^2 — a + 1 + (2a — 1)x — (2a — 1)a$$ $$y = a^2 — a + 1 + (2a — 1)x — 2a^2 + a$$

Приведем подобные:

$$y = (2a — 1)x — a^2 + 1$$

Шаг 2. Найдём уравнение касательной к $y_2 = x^2 + 5x + 4$ в точке $x = b$

Функция:

$$y_2(x) = x^2 + 5x + 4$$

Производная:

$$y_2′(x) = 2x + 5$$

В точке $x = b$:

$$k_2 = y_2′(b) = 2b + 5$$

Значение функции в точке $x = b$:

$$y_2(b) = b^2 + 5b + 4$$

Уравнение касательной:

$$y = y_2(b) + k_2(x — b)$$ $$y = b^2 + 5b + 4 + (2b + 5)(x — b)$$

Раскроем скобки:

$$y = b^2 + 5b + 4 + (2b + 5)x — (2b + 5)b$$ $$y = b^2 + 5b + 4 + (2b + 5)x — 2b^2 — 5b$$

Приведем подобные:

$$y = (2b + 5)x — b^2 + 4$$

Шаг 3. Общая касательная — значит, они совпадают (одинаковый наклон и одинаковое уравнение)

1. Одинаковые угловые коэффициенты:

$$2a — 1 = 2b + 5$$

Решим это уравнение:

$$2a = 2b + 6 \Rightarrow a = b + 3$$

2. Приравниваем уравнения касательных:

Уравнение от первой функции:

$$y = (2a — 1)x — a^2 + 1$$

Уравнение от второй функции:

$$y = (2b + 5)x — b^2 + 4$$

Подставим $a = b + 3$ в первое уравнение:

Сначала найдём угловой коэффициент:

$$2a — 1 = 2(b + 3) — 1 = 2b + 6 — 1 = 2b + 5$$

Затем найдём свободный член:

$$-a^2 + 1 = -(b + 3)^2 + 1 = -(b^2 + 6b + 9) + 1 = -b^2 — 6b — 8$$

Уравнение касательной через первую функцию:

$$y = (2b + 5)x — b^2 — 6b — 8$$

Уравнение касательной через вторую функцию:

$$y = (2b + 5)x — b^2 + 4$$

Приравняем свободные члены:

$$-b^2 — 6b — 8 = -b^2 + 4$$ $$-6b — 8 = 4 \Rightarrow -6b = 12 \Rightarrow b = -2$$

Шаг 4. Найдём уравнение касательной (общей)

Подставим $b = -2$ в уравнение:

$$y = (2b + 5)x — b^2 + 4$$ $$2b + 5 = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$$ $$-b^2 + 4 = -4 + 4 = 0$$

Значит:

$$y = 1 \cdot x + 0 \Rightarrow y = x$$

Ответ (а):

$$\boxed{y = x}$$

б) Найти точку пересечения общих касательных к графикам:

$$y_1 = x^2, \quad y_2 = -x^2 — 8$$

Шаг 1. Уравнение касательной к $y_1 = x^2$ в точке $x = a$

Производная:

$$y_1′(x) = 2x \Rightarrow y_1′(a) = 2a$$

Значение функции:

$$y_1(a) = a^2$$

Уравнение касательной:

$$y = a^2 + 2a(x — a) = a^2 + 2ax — 2a^2 = 2ax — a^2$$

Шаг 2. Уравнение касательной к $y_2 = -x^2 — 8$ в точке $x = b$

Производная:

$$y_2′(x) = -2x \Rightarrow y_2′(b) = -2b$$

Значение функции:

$$y_2(b) = -b^2 — 8$$

Уравнение касательной:

$$y = -b^2 — 8 + (-2b)(x — b) = -b^2 — 8 — 2bx + 2b^2 = -2bx + b^2 — 8$$

Шаг 3. Общая касательная: одинаковые наклоны и совпадение уравнений

1. Одинаковые наклоны:

$$2a = -2b \Rightarrow a = -b$$

2. Приравниваем уравнения касательных:

$$2ax — a^2 = -2bx + b^2 — 8$$

Подставим $a = -b$:

Левая часть:

$$2(-b)x — (-b)^2 = -2bx — b^2$$

Правая часть:

$$-2bx + b^2 — 8$$

Равенство:

$$-2bx — b^2 = -2bx + b^2 — 8$$

Упростим:

$$— b^2 = b^2 — 8 \Rightarrow -2b^2 = -8 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = \pm 2$$

Шаг 4. Найдём уравнения касательных

Если $b = -2$, то $a = 2$:

Уравнение из первой функции:

$$y = 2 \cdot 2x — 2^2 = 4x — 4$$

Если $b = 2$, то $a = -2$:

Уравнение из первой функции:

$$y = 2 \cdot (-2)x — (-2)^2 = -4x — 4$$

Шаг 5. Найдём точку пересечения двух касательных

Уравнения:

$$y_1 = 4x — 4, \quad y_2 = -4x — 4$$

Приравниваем:

$$4x — 4 = -4x — 4 \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Подставим в любое уравнение:

$$y = 4 \cdot 0 — 4 = -4$$

Ответ (б):

$$\boxed{(0;\ -4)}$$