ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые:

a) y = $\frac{1}{x}$ и у $=\sqrt{x}$

б) у = $x^2$ и у $=\sqrt{x}$?

а) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = \sqrt{x}$;

Точка пересечения функций:

$$\frac{1}{x} = \sqrt{x};$$ $$\frac{1}{x^2} = x;$$ $$1 = x^3, \text{отсюда } a = x = 1;$$

Угловые коэффициенты касательных:

$$k_1 = f'(a) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{1^2} = -1;$$ $$k_2 = g'(a) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2};$$

Угол между касательными:

$$\tg \varphi = \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} = \frac{0,5 + 1}{1 + (-1)(0,5)} = \frac{1,5}{0,5} = 3;$$ $$\varphi = \arctg 3 \approx 71,57^\circ;$$

Ответ: $\arctg 3 \approx 71,57^\circ$.

б) $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 = \sqrt{x};$$ $$x^4 = x;$$

$$x^4 — x = 0 \;\Rightarrow\; x(x^3 — 1) = 0$$

$$x = 0 \text{ или } x = 1;$$ $$a_1 = 0 \text{ и } a_2 = 1;$$

Угол между касательными в точке $a_1$:

$$k_1 = f'(a_1) = (x^2)’ = 2x = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$k_2 = g'(a_1) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{0}} = \frac{1}{0} = \varnothing;$$ $$\tg \varphi_1 = \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} = \frac{\varnothing — 0}{1 + 0 \cdot \varnothing} = \varnothing;$$ $$\varphi_1 = \arctg \varnothing = \frac{\pi}{2} = 90^\circ;$$

Угол между касательными в точке $a_2$:

$$k_1 = f'(a_2) = (x^2)’ = 2x = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$k_2 = g'(a_2) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2};$$ $$\tg \varphi = \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} = \frac{2 — 0,5}{1 + 1} = \frac{1,5}{2} = \frac{3}{4};$$ $$\varphi_2 = \arctg \frac{3}{4} \approx 36,87^\circ;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} = 90^\circ; \arctg \frac{3}{4} \approx 36,87^\circ$.

а) $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = \sqrt{x}$

1) Точка пересечения функций

Ищем значение $x$, при котором графики $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются:

$$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$$

Умножим обе части уравнения на $x$ (допустимо, если $x \ne 0$):

$$1 = x \cdot \sqrt{x}$$

Запишем правую часть как $x^{3/2}$:

$$1 = x^{3/2}$$

Возведем обе части в степень $\frac{2}{3}$, чтобы избавиться от дробной степени:

$$x = 1^{\frac{2}{3}} = 1$$

Вывод: функции пересекаются при $x = 1$. Подставим в любую из функций для проверки $y$:

$$f(1) = \frac{1}{1} = 1, \quad g(1) = \sqrt{1} = 1$$

Точка пересечения: $(1, 1)$

2) Найдём угловые коэффициенты касательных

Производная функции $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим $x = 1$:

$$k_1 = f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$$

Производная функции $g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$:

$$g'(x) = \left( x^{1/2} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Подставим $x = 1$:

$$k_2 = g'(1) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$

3) Угол между касательными

Формула угла между прямыми с коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

$$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Подставим наши значения:

$$\tan \varphi = \left| \frac{\frac{1}{2} — (-1)}{1 + (-1) \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{1 — \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$$

Теперь найдём угол:

$$\varphi = \arctg(3) \approx 71{,}57^\circ$$

Ответ для пункта (а):

$$\boxed{\arctg 3 \approx 71{,}57^\circ}$$

б) $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$

1) Точки пересечения функций

Решим уравнение:

$$x^2 = \sqrt{x}$$

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$$x^2 = x^{1/2}$$

Переносим всё в одну часть:

$$x^2 — x^{1/2} = 0$$

Домножим обе части на $x^{1/2}$, чтобы избавиться от корня (допустимо при $x \ge 0$):

$$x^{2 + 1/2} — x = 0 \Rightarrow x^{5/2} — x = 0$$

Или проще — возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

$$(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \Rightarrow x^4 = x \Rightarrow x^4 — x = 0 \Rightarrow x(x^3 — 1) = 0$$

Находим корни:

• $x = 0$
• $x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$

Точки пересечения: $x = 0$ и $x = 1$

Соответствующие точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$

2) Угол между касательными в точке $a_1 = 0$

Найдём производные:

• $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x \Rightarrow f'(0) = 0$
• $g(x) = \sqrt{x} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

При $x = 0$, производная $g'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0}}$ не определена, т. к. деление на 0.

Следовательно, угол между касательными не может быть рассчитан по обычной формуле.

Но раз касательная к $f(x)$ в этой точке горизонтальна (угловой коэффициент 0), а касательная к $g(x)$ стремится к вертикали (бесконечно крутой подъём), угол между ними:

$$\varphi_1 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$$

3) Угол между касательными в точке $a_2 = 1$

Производные:

• $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$
• $g'(1) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим в формулу:

$$\tan \varphi = \left| \frac{2 — \frac{1}{2}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{3}{4} \right|$$ $$\varphi_2 = \arctg \left( \frac{3}{4} \right) \approx 36{,}87^\circ$$

Ответ для пункта (б):

$$\boxed{90^\circ;\quad \arctg\left( \frac{3}{4} \right) \approx 36{,}87^\circ}$$