ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что параболы $y = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $y = \frac{(x+1)^2}{2}$ перпендикулярны в точке их пересечения.

$f(x) = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $g(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$;

Точка пересечения функций:

$$\frac{(x-1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2};$$ $$(x-1)^2 = (x+1)^2;$$ $$(x-1)^2 — (x+1)^2 = 0;$$ $$(x-1-x-1)(x-1+x+1) = 0;$$ $$-2 \cdot 2x = 0;$$ $$-4x = 0, \text{отсюда } a = x = 0;$$

Угловые коэффициенты касательных:

$$k_1 = f'(a) = \frac{1}{2}(x-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1) = x-1 = -1;$$ $$k_2 = g'(a) = \frac{1}{2}(x+1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1) = x+1 = 1;$$

Угол между касательными:

$$\tg \varphi = \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} = \frac{1 + 1}{1 + (-1)} = \frac{2}{0} = \varnothing;$$

Тангенс угла $\varphi$ не существует, значит $\varphi = 90^\circ$;

Утверждение доказано.

Параболы:

$$f(x) = \frac{(x-1)^2}{2}, \quad g(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$$

Задача:

Докажите, что эти параболы перпендикулярны в точке их пересечения.

Шаг 1. Найдём точку пересечения графиков $f(x)$ и $g(x)$

Графики пересекаются в точках, где значения функций равны:

$$f(x) = g(x) \Rightarrow \frac{(x-1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2}$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(x — 1)^2 = (x + 1)^2$$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности и суммы:

$$x^2 — 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$$

Вычтем правую часть из левой:

$$(x^2 — 2x + 1) — (x^2 + 2x + 1) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x + 1 — x^2 — 2x — 1 = 0$$

Соберём подобные:

$$-4x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Подставим $x = 0$ в одну из функций (например, $f(x)$), чтобы найти $y$:

$$f(0) = \frac{(0 — 1)^2}{2} = \frac{1}{2}$$

Итак, параболы пересекаются в точке $A(0, \frac{1}{2})$

Шаг 2. Найдём производные $f'(x)$ и $g'(x)$

$f(x) = \frac{(x — 1)^2}{2}$

Применим правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x — 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2(x — 1) = x — 1$$

Тогда угловой коэффициент касательной к графику $f$ в точке $x = 0$:

$$k_1 = f'(0) = 0 — 1 = -1$$

$g(x) = \frac{(x + 1)^2}{2}$

Аналогично:

$$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x + 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2(x + 1) = x + 1$$

Тогда угловой коэффициент касательной к графику $g$ в точке $x = 0$:

$$k_2 = g'(0) = 0 + 1 = 1$$

Шаг 3. Найдём угол между касательными

Формула для угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

$$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Подставим значения:

$$\tan \varphi = \left| \frac{1 — (-1)}{1 + (-1) \cdot 1} \right| = \left| \frac{2}{1 — 1} \right| = \left| \frac{2}{0} \right|$$

Такого значения не существует (деление на 0). Это значит, что:

$$\tan \varphi \to \infty \Rightarrow \varphi = 90^\circ$$

Вывод:

Угловые коэффициенты касательных в точке пересечения — $-1$ и $1$, а угол между прямыми с такими коэффициентами равен 90°, так как произведение $k_1 \cdot k_2 = -1$. Это также известно как признак перпендикулярности прямых: если произведение угловых коэффициентов двух прямых равно $-1$, то прямые перпендикулярны.

Ответ:

Параболы $f(x) = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $g(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$ перпендикулярны в точке пересечения $(0, \frac{1}{2})$.
Утверждение доказано.