ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Из какой точки оси $y$ кривая $y = \sqrt{1 + x^2}$ видна под углом $120^\circ$?

б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом.

Выражение: «кривая видна из точки под углом $\alpha$» означает, что угол между ее касательными, проходящими через данную точку равен $\alpha$.

а) $y = \sqrt{1 + x^2}$ и $B(x_0; y_0)$;

Пусть $u = 1 + x^2$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$$k = y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (1 + x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Данная функция является симметричной, следовательно:

• Точка $B$ принадлежит оси симметрии, то есть $x_0 = 0$;
• Касательные образуют равные острые углы с осью $x$;

Угол между касательными равен $120^\circ$, значит угол с осью $x$:

$$\varphi = \frac{1}{2}(180^\circ — 120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ;$$ $$k = \tan \varphi = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}};$$

Одна из точек касания:

$$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x\sqrt{3} = \sqrt{1 + x^2};$$ $$3x^2 = 1 + x^2;$$ $$2x^2 = 1;$$ $$x^2 = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } a = x = \frac{1}{\sqrt{2}};$$

Уравнение касательной:

$$y(a) = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}};$$ $$y'(a) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( x — \frac{1}{\sqrt{2}} \right);$$ $$y_0 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6}} — \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{3 — 1}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3};$$

Ответ: $\left( 0; \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$.

б) $y = x^2$ и $B(x_0; y_0)$;

Уравнение касательных:

$$y(a) = a^2;$$ $$k = y'(a) = (x^2)’ = 2x = 2a;$$ $$y = a^2 + 2a(x — a) = a^2 + 2ax — 2a^2 = 2ax — a^2;$$

Касательные проходят через точку $B$, значит:

$$y_0 = 2ax_0 — a^2;$$ $$a^2 — (2x_0)a + y_0 = 0;$$ $$D = (2x_0)^2 — 4y_0 = 4x_0^2 — 4y_0, \text{ тогда: }$$ $$k = 2a = 2x_0 \pm \sqrt{4x_0^2 — 4y_0} = 2x_0 \pm 2\sqrt{x_0^2 — y_0};$$

Угол между касательными равен $90^\circ$, то есть:

$$\tan \varphi = \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} = \infty;$$ $$1 + k_1 k_2 = 0, \text{ отсюда } k_1 k_2 = -1;$$

Подставим значения коэффициентов:

$$\left( 2x_0 — 2\sqrt{x_0^2 — y_0} \right) \left( 2x_0 + 2\sqrt{x_0^2 — y_0} \right) = -1;$$ $$4x_0^2 — 4x_0^2 + 4y_0 = -1;$$ $$4y_0 = -1, \text{ отсюда } y_0 = -\frac{1}{4};$$

Имеем точку $B \left( x_0; -\frac{1}{4} \right)$, то есть любую точку прямой $y = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{4}$.

Выражение: «кривая видна из точки под углом $\alpha$» означает, что угол между касательными к кривой, проведёнными через эту точку, равен $\alpha$.

а) Найти точку на оси $y$, из которой кривая $y = \sqrt{1 + x^2}$ видна под углом $120^\circ$.

Шаг 1. Геометрический смысл

Пусть точка $B(x_0, y_0)$ — точка наблюдения. Нужно найти такую точку $B$, из которой видны две касательные к графику функции $y = \sqrt{1 + x^2}$, и угол между этими касательными равен $120^\circ$.

Шаг 2. Симметрия функции

Функция $y = \sqrt{1 + x^2}$ является чётной, т.е. симметрична относительно оси $y$, потому что:

$$f(-x) = \sqrt{1 + (-x)^2} = \sqrt{1 + x^2} = f(x).$$

Следовательно, угол обзора будет наибольшим при наблюдении с оси симметрии, то есть:

$$x_0 = 0.$$

Шаг 3. Производная функции

Чтобы найти касательные, нужно вычислить производную:

$$y = \sqrt{1 + x^2} = (1 + x^2)^{1/2} \Rightarrow y’ = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

То есть угловой коэффициент касательной в точке $x$ равен:

$$k(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

Шаг 4. Определение угла между касательными

Так как кривая симметрична и точка наблюдения лежит на оси $y$, касательные к графику будут симметричны относительно оси $y$, и угол между ними будет в два раза больше угла между каждой касательной и осью $x$.

Пусть $\varphi$ — угол между касательной и осью $x$, тогда:

$$2\varphi = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \varphi = 30^\circ.$$

Теперь найдём значение производной, соответствующее углу наклона $30^\circ$:

$$k = \tan \varphi = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Шаг 5. Решение уравнения для нахождения точки касания

Ищем такое значение $x$, при котором производная равна $\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Домножим обе части на $\sqrt{1 + x^2} \cdot \sqrt{3}$, чтобы убрать корни:

$$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{1 + x^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3x^2 = 1 + x^2 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 6. Найдём точку касания

Подставим $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ в уравнение функции:

$$y = \sqrt{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 7. Уравнение касательной

Угловой коэффициент $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Запишем уравнение касательной в точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ к графику $y = \sqrt{1 + x^2}$:

Формула уравнения касательной:

$$y = y(a) + y'(a)(x — a),$$

где $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $y(a) = \sqrt{3/2}$, $y'(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим:

$$y = \sqrt{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( x — \frac{1}{\sqrt{2}} \right).$$

Найдём значение $y$ в точке $x = 0$ — это и будет координата точки $B$ на оси $y$:

$$y_0 = \sqrt{\frac{3}{2}} — \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Упростим:

$$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \quad \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}};$$ $$y_0 = \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{3 — 1}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{B = \left( 0, \frac{\sqrt{6}}{3} \right)}$$

б) Найти множество точек, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом $90^\circ$.

Шаг 1. Геометрический смысл

Пусть точка наблюдения — $B(x_0, y_0)$, из которой видны две касательные к параболе $y = x^2$, образующие прямой угол $90^\circ$.

Шаг 2. Общий вид касательной к параболе

Функция: $y = x^2$, её производная:

$$y'(x) = 2x.$$

Пусть касательная проводится в точке $A(a, a^2)$. Тогда уравнение касательной имеет вид:

$$y = a^2 + 2a(x — a) = 2a x — a^2.$$

Это уравнение описывает касательную к параболе в точке $a$.

Шаг 3. Условие прохождения касательной через точку $B(x_0, y_0)$

Подставим $(x_0, y_0)$ в уравнение касательной:

$$y_0 = 2a x_0 — a^2. \Rightarrow a^2 — 2a x_0 + y_0 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Если оно имеет два действительных корня $a_1, a_2$, то из точки $B$ можно провести две касательные. Эти касательные будут иметь угловые коэффициенты:

$$k_1 = 2a_1, \quad k_2 = 2a_2.$$

Шаг 4. Угол между касательными

Условие: угол между касательными $90^\circ$. Тогда:

$$\tan(\varphi) = \frac{k_2 — k_1}{1 + k_1 k_2} = \infty \Rightarrow 1 + k_1 k_2 = 0. \Rightarrow k_1 k_2 = -1.$$

Шаг 5. Выразим $k_1 k_2$ через $x_0$ и $y_0$

Так как $k_1 = 2a_1$, $k_2 = 2a_2$, то:

$$k_1 k_2 = 4a_1 a_2.$$

Рассмотрим произведение корней уравнения:

$$a^2 — 2x_0 a + y_0 = 0 \Rightarrow a_1 a_2 = y_0. \Rightarrow k_1 k_2 = 4 y_0.$$

Согласно условию:

$$k_1 k_2 = -1 \Rightarrow 4 y_0 = -1 \Rightarrow y_0 = -\frac{1}{4}.$$

Ответ:

$$\boxed{y = -\frac{1}{4}},\quad \text{все точки этой прямой.}$$

Это множество всех точек $B(x_0, -\tfrac{1}{4})$, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом.