ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^3 + a^2x — a$ в точке $x = -1$ проходит через точку $M(1; 7)$.

б) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^4 — 3x^3 + 2a$ в точке $x = -2$ проходит через точку $M(-1; -8)$.

а) $f(x) = x^3 + a^2x — a$;
$x_0 = -2$;

Уравнение касательной:
$f'(x) = (x^3)’ + a^2(x)’ — (a)’ = 3x^2 + a^2 + 0 = 3x^2 + a^2$;
$f(x_0) = (-1)^3 — a^2 — a = -1 — a^2 — a$;
$f'(x_0) = 3 \cdot (-1)^2 + a^2 = 3 + a^2$;
$y = -1 — a^2 — a + (3 + a^2)(x + 1)$;
$y = -1 — a^2 — a + 3x + 3 + a^2x + a^2 = a^2x — a + 3x + 2$;

Касательная проходит через точку $M(1; 7)$, значит:
$7 = a^2 — a + 3 + 2$;
$a^2 — a — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;
Ответ: $-1; 2$.

б) $f(x) = x^4 — 3x^3 + 2a$ и $x_0 = -2$;
$f'(x) = (x^4)’ — 3(x^3)’ + (2a)’ = 4x^3 — 3 \cdot 3x^2 + 0 = 4x^3 — 9x^2$;

Уравнение касательной:
$f(x_0) = (-2)^4 — 3 \cdot (-2)^3 + 2a = 16 + 3 \cdot 8 + 2a = 40 + 2a$;
$f'(x_0) = 4 \cdot (-2)^3 — 9 \cdot (-2)^2 = -4 \cdot 8 — 9 \cdot 4 = -32 — 36 = -68$;
$y = 40 + 2a — 68(x + 2) = 40 + 2a — 68x — 136 = 2a — 68x — 96$;

Касательная проходит через точку $M(-1; -8)$, значит:
$-8 = 2a + 68 — 96$;
$2a = 20$, отсюда $a = 10$;
Ответ: $a = 10$.

а) $f(x) = x^3 + a^2x — a$, $x_0 = -1$

Найти значение параметра $a$, при котором касательная к графику этой функции в точке $x = -1$ проходит через точку $M(1; 7)$.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Функция дана:

$$f(x) = x^3 + a^2x — a$$

Найдем её производную по $x$ (обозначается как $f'(x)$):

• Производная $x^3$ — это $3x^2$;
• $a^2$ — это число (константа), так как $a$ — параметр, не зависящий от $x$. Производная $a^2x$ по $x$ — это $a^2$;
• $-a$ — это тоже просто число, производная которого по $x$ равна нулю.

Значит:

$$f'(x) = 3x^2 + a^2$$

Шаг 2: Найдём значение функции и её производной в точке $x = -1$

Вычислим $f(-1)$:

$$f(-1) = (-1)^3 + a^2 \cdot (-1) — a = -1 — a^2 — a$$

Вычислим $f'(-1)$:

$$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 + a^2 = 3 + a^2$$

Шаг 3: Составим уравнение касательной в точке $x = -1$

Формула уравнения касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим:

• $x_0 = -1$
• $f(-1) = -1 — a^2 — a$
• $f'(-1) = 3 + a^2$

Получаем:

$$y = (-1 — a^2 — a) + (3 + a^2)(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = -1 — a^2 — a + 3x + 3 + a^2x + a^2$$

Сгруппируем:

• $-a^2 + a^2 = 0$
• $-1 + 3 = 2$

Окончательно:

$$y = 3x + a^2x — a + 2 = (3 + a^2)x — a + 2$$

Шаг 4: Подставим координаты точки $M(1; 7)$

Точка $M(1; 7)$ лежит на касательной, значит при $x = 1$, $y = 7$. Подставим в уравнение касательной:

$$7 = (3 + a^2) \cdot 1 — a + 2$$

Раскроем:

$$7 = 3 + a^2 — a + 2 = a^2 — a + 5$$

Перенесем 7 в левую часть:

$$a^2 — a + 5 = 7 \Rightarrow a^2 — a — 2 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$a^2 — a — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Найдём корни:

$$a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Ответ (а): $\boxed{a = -1 \quad \text{или} \quad a = 2}$

б) $f(x) = x^4 — 3x^3 + 2a$, $x_0 = -2$

Касательная проходит через точку $M(-1; -8)$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = x^4 — 3x^3 + 2a$$

Производная:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(-3x^3)’ = -9x^2$
• $(2a)’ = 0$, потому что $a$ — параметр, и не зависит от $x$

Значит:

$$f'(x) = 4x^3 — 9x^2$$

Шаг 2: Найдём $f(-2)$ и $f'(-2)$

Вычислим $f(-2)$:

$$f(-2) = (-2)^4 — 3 \cdot (-2)^3 + 2a = 16 + 24 + 2a = 40 + 2a$$

Вычислим $f'(-2)$:

$$f'(-2) = 4 \cdot (-2)^3 — 9 \cdot (-2)^2 = -32 — 36 = -68$$

Шаг 3: Уравнение касательной в точке $x = -2$

Формула:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим:

$$y = 40 + 2a — 68(x + 2)$$

Раскроем скобки:

$$y = 40 + 2a — 68x — 136 = -68x + 2a — 96$$

Или:

$$y = -68x + 2a — 96$$

Шаг 4: Подставим точку $M(-1; -8)$

Подставим $x = -1$, $y = -8$ в уравнение касательной:

$$-8 = -68 \cdot (-1) + 2a — 96$$

Вычислим:

$$-8 = 68 + 2a — 96 \Rightarrow -8 = 2a — 28$$

Решим уравнение:

$$2a = 20 \Rightarrow a = 10$$

Ответ (б): $\boxed{a = 10}$