ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 — 5}$ в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 — 9}$ в точке $x = 5$.

Биссектрисы координатных углов имеют уравнения $y = -x$ и $y = x$, угол между ними равен $90^\circ$, то есть отрезки, которые касательная отсекает от этих прямых, являются катетами искомого треугольника;

а) $f(x) = \sqrt{x^2 — 5}$ и $a = 3$;

Пусть $u = x^2 — 5$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (x^2 — 5)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 5}};$$

Уравнение касательной:

$$f(a) = \sqrt{3^2 — 5} = \sqrt{9 — 5} = \sqrt{4} = 2;$$ $$f'(a) = \frac{3}{\sqrt{3^2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{9 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2};$$ $$y = 2 + \frac{3}{2}(x — 3) = 2 + 1,5x — 4,5 = 1,5x — 2,5;$$

Точка пересечения с биссектрисой $y = -x$:

$$1,5x — 2,5 = -x;$$ $$2,5x = 2,5, \text{отсюда } x = 1;$$ $$y = 1,5 — 2,5 = -1;$$

Точка пересечения с биссектрисой $y = x$:

$$1,5x — 2,5 = x;$$ $$0,5x = 2,5, \text{отсюда } x = 5;$$ $$y = 1,5 \cdot 5 — 2,5 = 7,5 — 2,5 = 5;$$

Длины катетов и площадь треугольника:

$$b_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$$ $$b_2 = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50};$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5;$$

Ответ: 5.

б) $f(x) = \sqrt{x^2 — 9}$ и $a = 5$;

Пусть $u = x^2 — 9$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (x^2 — 9)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 9}};$$

Уравнение касательной:

$$f(a) = \sqrt{5^2 — 9} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4;$$ $$f'(x) = \frac{5}{\sqrt{5^2 — 9}} = \frac{5}{\sqrt{25 — 9}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4};$$ $$y = 4 + \frac{5}{4}(x — 5) = 4 + 1,25x — 6,25 = 1,25x — 2,25;$$

Точка пересечения с биссектрисой $y = -x$:

$$1,25x — 2,25 = -x;$$ $$2,25x = 2,25, \text{отсюда } x = 1;$$ $$y = 1,25 — 2,25 = -1;$$

Точка пересечения с биссектрисой $y = x$:

$$1,25x — 2,25 = x;$$ $$0,25x = 2,25, \text{отсюда } x = 9;$$ $$y = 1,25 \cdot 9 — 2,25 = 11,25 — 2,25 = 9;$$

Длины катетов и площадь треугольника:

$$b_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$$ $$b_2 = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162};$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{162} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{324} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9;$$

Ответ: 9.

Найти площадь треугольника, образованного касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 — c}$ в точке $x = a$, и биссектрисами координатных углов $y = x$ и $y = -x$.

а) $f(x) = \sqrt{x^2 — 5}, \quad a = 3$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = \sqrt{x^2 — 5}$$

Обозначим подкоренное выражение как $u = x^2 — 5$. Тогда:

$$f(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Используем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(u^{1/2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 — 5) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 5}}$$

Шаг 2: Находим значение функции и её производной в точке $x = 3$

Подставим:

$$f(3) = \sqrt{3^2 — 5} = \sqrt{9 — 5} = \sqrt{4} = 2$$ $$f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 — 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$$

Шаг 3: Составим уравнение касательной в точке $x = 3$

Общий вид уравнения касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = 2 + \frac{3}{2}(x — 3) = 2 + \frac{3}{2}x — \frac{9}{2} = \frac{3}{2}x — \frac{5}{2}$$

Можно также записать в десятичной форме:

$$y = 1.5x — 2.5$$

Шаг 4: Найдём точки пересечения этой касательной с биссектрисами

Пересечение с $y = -x$:

Приравниваем уравнения:

$$1.5x — 2.5 = -x \Rightarrow 1.5x + x = 2.5 \Rightarrow 2.5x = 2.5 \Rightarrow x = 1$$

Теперь найдём $y$:

$$y = -1 \quad \text{(т.к. на биссектрисе \( y = -x \))}$$

Точка пересечения: $A(1, -1)$

Пересечение с $y = x$:

Приравниваем уравнения:

$$1.5x — 2.5 = x \Rightarrow 0.5x = 2.5 \Rightarrow x = 5$$

Теперь найдём $y$:

$$y = 5 \quad \text{(т.к. на биссектрисе \( y = x \))}$$

Точка пересечения: $B(5, 5)$

Шаг 5: Найдём длины отрезков от начала координат до точек пересечения

Треугольник образован точками:

• $A(1, -1)$
• $B(5, 5)$
• $O(0, 0)$ — начало координат

Катет 1: $\overline{OA}$

$$b_1 = \sqrt{(1 — 0)^2 + (-1 — 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Катет 2: $\overline{OB}$

$$b_2 = \sqrt{(5 — 0)^2 + (5 — 0)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$$

Шаг 6: Найдём площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$

Ответ: 5

б) $f(x) = \sqrt{x^2 — 9}, \quad a = 5$

Шаг 1: Производная функции

$$f(x) = \sqrt{x^2 — 9}, \quad u = x^2 — 9 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 — 9}}$$

Шаг 2: Значения функции и производной при $x = 5$

$$f(5) = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4$$ $$f'(5) = \frac{5}{\sqrt{25 — 9}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$$

Шаг 3: Уравнение касательной

$$y = f(5) + f'(5)(x — 5) = 4 + \frac{5}{4}(x — 5) = 4 + \frac{5}{4}x — \frac{25}{4} = \frac{5}{4}x — \frac{9}{4}$$

Десятичная форма:

$$y = 1.25x — 2.25$$

Шаг 4: Пересечение с биссектрисами

С $y = -x$:

$$1.25x — 2.25 = -x \Rightarrow 2.25x = 2.25 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = -1$$

Точка: $A(1, -1)$

С $y = x$:

$$1.25x — 2.25 = x \Rightarrow 0.25x = 2.25 \Rightarrow x = 9 \Rightarrow y = 9$$

Точка: $B(9, 9)$

Шаг 5: Длины катетов

Катет 1: $\overline{OA}$

$$b_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$

Катет 2: $\overline{OB}$

$$b_2 = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162}$$

Шаг 6: Площадь треугольника

$$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{162} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{324} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$

Ответ: 9