ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.68 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Прямая $y = 6x — 7$ касается параболы $y = x^2 + bx + c$ в точке $M(2; 5)$. Найдите значения коэффициентов $b$ и $c$.

б) Прямая $y = 7x — 10$ касается параболы $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = 2$. Найдите значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке $x = 1$.

а) $f(x) = x^2 + bx + c$ и $y = 6x — 7$, $M(2; 5)$;

$y = 6x — 7$, то есть $k = 6$:
$k = f'(2) = (x^2)’ + (bx + c)’ = 2x + b = 4 + b;$
$4 + b = 6, \text{ отсюда } b = 2;$

Парабола проходит через точку $M$, значит:
$5 = 2^2 + 2b + c;$
$5 = 4 + 2 \cdot 2 + c;$
$5 = 4 + 4 + c, \text{ отсюда } c = -3;$
Ответ: $b = 2$; $c = -3$.

б) $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $y = 7x — 10$, $x_0 = 2$;

Ордината точки касания:
$y = 7 \cdot 2 — 10 = 14 — 10 = 4;$

$y = 7x — 10$, то есть $k = 7$:
$k = f'(2) = a(x^2)’ + (bx + c)’ = 2ax + b = 4a + b;$
$4a + b = 7, \text{ отсюда } b = 7 — 4a;$

Парабола пересекает ось абсцисс в точке $x = 1$, значит:
$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c;$
$0 = a + b + c;$
$c = -a — b = -a — (7 — 4a) = 3a — 7;$

Парабола проходит через точку $(2; 4)$, значит:
$4 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c;$
$4 = 4a + 2b + c;$
$4a + 2(7 — 4a) + (3a — 7) — 4 = 0;$
$4a + 14 — 8a + 3a — 7 — 4 = 0;$
$3a — 7 = 0, \text{ отсюда } a = 3;$
$b = 7 — 4 \cdot 3 = 7 — 12 = -5;$
$c = 3 \cdot 3 — 7 = 9 — 7 = 2;$

Ответ: $a = 3$; $b = -5$; $c = 2$.

а) Прямая $y = 6x — 7$ касается параболы $y = x^2 + bx + c$ в точке $M(2; 5)$

Дано:

• Парабола: $f(x) = x^2 + bx + c$
• Прямая: $y = 6x — 7$
• Точка касания: $M(2; 5)$

Шаг 1. Условие касания — совпадение производных в точке $x = 2$

У прямой угол наклона $k = 6$ (коэффициент перед $x$).

Производная функции $f(x)$ по определению:

$$f(x) = x^2 + bx + c \Rightarrow f'(x) = 2x + b$$

Подставим $x = 2$:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b$$

Так как в точке касания наклоны совпадают:

$$f'(2) = k = 6 \Rightarrow 4 + b = 6$$

Решим уравнение:

$$b = 6 — 4 = 2$$

Шаг 2. Парабола проходит через точку $M(2; 5)$

Это означает, что значение функции в точке $x = 2$ должно быть равно 5:

$$f(2) = 2^2 + b \cdot 2 + c = 5$$

Подставим найденное значение $b = 2$:

$$4+2\cdot 2+c=5\Rightarrow 4+4+c=5\Rightarrow 8+c=5\Rightarrow$$

$$4 + 2 \cdot 2 + c = 5 \Rightarrow 4 + 4 + c = 5 \Rightarrow 8 + c = 5 \Rightarrow c = 5 — 8 = -3$$

Ответ (а):

$$\boxed{b = 2;\quad c = -3}$$

б) Прямая $y = 7x — 10$ касается параболы $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = 2$, и парабола проходит через точку $x = 1$ (пересекает ось абсцисс) — найдите $a, b, c$

Дано:

• Прямая: $y = 7x — 10$
• Парабола: $f(x) = ax^2 + bx + c$
• Касание в точке с абсциссой $x = 2$
• Парабола проходит через точку $(1, 0)$, т.к. пересекает ось абсцисс при $x = 1$

Шаг 1. Найдём $y$-координату точки касания (т.е. $f(2)$)

Прямая задана уравнением:

$$y = 7x — 10$$

Подставим $x = 2$, чтобы найти ординату точки касания:

$$y = 7 \cdot 2 — 10 = 14 — 10 = 4$$

Значит, точка касания: $(2; 4)$

Шаг 2. Условие касания: равенство производных в точке $x = 2$

Производная параболы:

$$f(x) = ax^2 + bx + c \Rightarrow f'(x) = 2ax + b$$

Подставим $x = 2$:

$$f'(2) = 2a \cdot 2 + b = 4a + b$$

Так как касание, производные равны:

$$4a + b = 7 \quad \text{(уравнение ①)}$$

Шаг 3. Подставим точку касания $(2; 4)$ в уравнение параболы

Значение функции в точке $x = 2$:

$$f(2) = a \cdot 4 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c = 4 \quad \text{(уравнение ②)}$$

Шаг 4. Парабола проходит через точку $(1; 0)$

Поскольку это точка пересечения с осью $x$, её подставляем в уравнение параболы:

$$f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c = 0 \quad \text{(уравнение ③)}$$

Шаг 5. Решим систему уравнений

Имеем 3 уравнения:

1. $4a + b = 7$
2. $4a + 2b + c = 4$
3. $a + b + c = 0$

Подставим $b = 7 — 4a$ (из уравнения ①) в уравнения ② и ③:

Уравнение ②:

$$4a+2b+c=4\Rightarrow 4a+2(7-4a)+c=4\Rightarrow 4a+14-8a+c=4\Rightarrow$$

$$4a + 2b + c = 4 \Rightarrow 4a + 2(7 — 4a) + c = 4 \Rightarrow 4a + 14 — 8a + c = 4 \Rightarrow -4a + 14 + c = 4 \Rightarrow c = 4a — 10 \quad \text{(уравнение ④)}$$

Уравнение ③:

$$a+b+c=0\Rightarrow a+(7-4a)+c=0\Rightarrow -3a+7+c=0\Rightarrow$$

$$a + b + c = 0 \Rightarrow a + (7 — 4a) + c = 0 \Rightarrow -3a + 7 + c = 0 \Rightarrow c = 3a — 7 \quad \text{(уравнение ⑤)}$$

Приравняем уравнения ④ и ⑤:

$$4a — 10 = 3a — 7 \Rightarrow a = 3$$

Теперь найдём:

• $b = 7 — 4a = 7 — 12 = -5$
• $c = 3a — 7 = 9 — 7 = 2$

Ответ (б):

$$\boxed{a = 3;\quad b = -5;\quad c = 2}$$