ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ и $x_0 = 3$;

б) $f(x) = \cos^2 3x — \sin^2 3x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $f(x) = (2x+1)(4x^2 — 2x + 1)$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$;

г) $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

а) $f(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ и $x_0 = 3$;

$f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x — 2x^2 — 4x — 8 = x^3 — 8$;

$f'(x) = (x^3)’ — (8)’ = 3x^2 — 0 = 3x^2$;

$f'(x_0) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$;

Ответ: $\operatorname{tg} a = 27$.

б) $f(x) = \cos^2 3x — \sin^2 3x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

$f(x) = \cos(3x + 3x) = \cos 6x$;

$f'(x) = (\cos 6x)’ = -6 \sin 6x$;

$f'(x_0) = -6 \cdot \sin \frac{6\pi}{6} = -6 \cdot \sin \pi = -6 \cdot 0 = 0$;

Ответ: $\operatorname{tg} a = 0$.

в) $f(x) = (2x+1)(4x^2 — 2x + 1)$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$;

$f(x) = 8x^3 — 4x^2 + 2x + 4x^2 — 2x + 1 = 8x^3 + 1$;

$f'(x) = (8x^3)’ + (1)’ = 8 \cdot 3x^2 + 0 = 24x^2$;

$f'(x_0) = 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$;

Ответ: $\operatorname{tg} a = 6$.

г) $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} \cdot \cos 2x = \frac{\sin 2x}{2} \cdot \cos 2x = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{4} = \frac{\sin 4x}{4}$;

$f'(x) = \frac{1}{4} (\sin 4x)’ = \frac{1}{4} \cdot 4 \cos 4x = \cos 4x$;

$f'(x_0) = \cos \frac{4\pi}{4} = \cos \pi = -1$

а) $f(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ и $x_0 = 3$

Шаг 1: Раскрытие скобок

Для начала раскроем скобки и упростим выражение для функции $f(x)$.

$$f(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4).$$

Распределим $(x-2)$ на $(x^2 + 2x + 4)$:

$$f(x) = x(x^2 + 2x + 4) — 2(x^2 + 2x + 4).$$

Умножим:

$$f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x — 2x^2 — 4x — 8.$$

Теперь упростим, сокращая одинаковые слагаемые:

$$f(x) = x^3 — 8.$$

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдём производную функции $f(x) = x^3 — 8$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(8).$$

• Производная от $x^3$ по $x$ равна $3x^2$,
• Производная от постоянной $-8$ равна 0.

Таким образом:

$$f'(x) = 3x^2.$$

Шаг 3: Нахождение производной в точке $x_0 = 3$

Теперь подставим $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27.$$

Ответ: $\operatorname{tg} a = 27$.

б) $f(x) = \cos^2 3x — \sin^2 3x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Преобразование функции

Используя формулу для удвоенного угла, мы можем упростить выражение для функции $f(x)$:

$$f(x) = \cos^2 3x — \sin^2 3x = \cos(6x),$$

так как $\cos(2A) = \cos^2 A — \sin^2 A$, где $A = 3x$.

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдём производную функции $f(x) = \cos(6x)$. Для этого используем стандартное правило для производной косинуса:

$$f'(x) = -\sin(6x) \cdot \frac{d}{dx}(6x).$$

Производная от $6x$ по $x$ равна 6, следовательно:

$$f'(x) = -6 \sin(6x).$$

Шаг 3: Нахождение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим $x_0 = \frac{\pi}{6}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -6 \sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -6 \sin(\pi).$$

Известно, что $\sin(\pi) = 0$, следовательно:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -6 \cdot 0 = 0.$$

Ответ: $\operatorname{tg} a = 0$.

в) $f(x) = (2x+1)(4x^2 — 2x + 1)$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Раскрытие скобок

Для начала раскроем скобки и упростим выражение для функции $f(x)$.

$$f(x) = (2x+1)(4x^2 — 2x + 1).$$

Распределим $(2x + 1)$ на $(4x^2 — 2x + 1)$:

$$f(x) = (2x)(4x^2 — 2x + 1) + (1)(4x^2 — 2x + 1).$$

Умножим:

$$f(x) = 8x^3 — 4x^2 + 2x + 4x^2 — 2x + 1.$$

Теперь упростим, сокращая одинаковые слагаемые:

$$f(x) = 8x^3 + 1.$$

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдём производную функции $f(x) = 8x^3 + 1$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(8x^3) + \frac{d}{dx}(1).$$

• Производная от $8x^3$ по $x$ равна $24x^2$,
• Производная от постоянной $1$ равна 0.

Таким образом:

$$f'(x) = 24x^2.$$

Шаг 3: Нахождение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим $x_0 = -\frac{1}{2}$ в выражение для производной:

$$f’\left(-\frac{1}{2}\right) = 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6.$$

Ответ: $\operatorname{tg} a = 6$.

г) $f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Преобразование функции

Используя стандартные тригонометрические преобразования, можно упростить выражение для функции:

$$f(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x.$$

Используем формулу $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, чтобы упростить первое произведение:

$$f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} \cdot \cos 2x = \frac{\sin 2x}{2} \cdot \cos 2x.$$

Дальше используем стандартное тригонометрическое преобразование для произведения $\sin 2x \cdot \cos 2x$:

$$f(x) = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{4} = \frac{\sin 4x}{4}.$$

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдём производную функции $f(x) = \frac{\sin 4x}{4}$.

Производная от $\sin 4x$ по $x$ будет $4 \cos 4x$ (по цепному правилу). Таким образом:

$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4 \cos 4x = \cos 4x.$$

Шаг 3: Нахождение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Теперь подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos(\pi).$$

Известно, что $\cos(\pi) = -1$, следовательно:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1.$$

Ответ: $\operatorname{tg} a = -1$.