ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$ и $x_0=-1$;

б) $f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}$ и $x_0=-2$;

в) $f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}$ и $x_0=-0,1$;

г) $f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}$ и $x_0=-5$

а) $f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$ и $x_0=-1$;

$f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{x-1}=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=2\cdot (-1)-2=-2-2=-4$;

Ответ: $\mathrm{tg}a=-4$.

б) $f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}$ и $x_0=-2$;

$f(x)=\sqrt{(x-3{)}^2}=\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=3-x$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(3-x{)}^{\mathrm{\prime }}=-1$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=-1$;

Ответ: $\mathrm{tg}a=-1$.

в) $f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}$ и $x_0=-0,1$;

$f(x)=\frac{x^2(x^2-3x+\frac{1}{x})}{x^2}=x^2-3x+\frac{1}{x}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=2x-3-\frac{1}{x^2}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=-0,2-3-\frac{1}{(-0,1{)}^2}=-3,2-\frac{1}{0,01}=-103,2$;

Ответ: $\mathrm{tg}a=-103,2$.

г) $f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}$ и $x_0=-5$;

$f(x)=\sqrt[3]{(x-2{)}^3}=x-2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-2{)}^{\mathrm{\prime }}=1$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=1$;

Ответ: $\mathrm{tg}a=1$.

а) $f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$ и $x_0=-1$

Шаг 1: Упрощение выражения для функции $f(x)$

Для начала упростим выражение $f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$. Мы видим, что числитель можно записать как куб разности:

$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1{)}^3\mathrm{.}$$

Таким образом, функция $f(x)$ примет вид:

$$f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{x-1}\mathrm{.}$$

При $x\mathrm{\ne }1$ можно сократить $(x-1)$ в числителе и знаменателе, и получим:

$$f(x)=(x-1{)}^2\mathrm{.}$$

Теперь раскрываем квадрат:

$$f(x)=x^2-2x+1.$$

Шаг 2: Нахождение производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

Теперь найдем производную функции $f(x)=x^2-2x+1$. Используем стандартные правила дифференцирования:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-2+0=2x-2.$$

Шаг 3: Вычисление производной в точке $x_0=-1$

Теперь подставим $x_0=-1$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=2(-1)-2=-2-2=-4.$$

Ответ: $\mathrm{tg}a=-4$.

б) $f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}$ и $x_0=-2$

Шаг 1: Упрощение выражения для функции $f(x)$

Мы видим, что выражение под корнем можно привести к квадрату:

$$x^2-6x+9=(x-3{)}^2\mathrm{.}$$

Таким образом, функция $f(x)$ становится:

$$f(x)=\sqrt{(x-3{)}^2}\mathrm{.}$$

Мы знаем, что $\sqrt{y^2}=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$, следовательно:

$$f(x)=\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Поскольку в данном случае $x_0=-2$, то $x_0-3=-5$, следовательно, $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=3-x$. Поэтому:

$$f(x)=3-x\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

Теперь найдем производную от функции $f(x)=3-x$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1.$$

Шаг 3: Вычисление производной в точке $x_0=-2$

Производная постоянна и равна -1, следовательно:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=-1.$$

Ответ: $\mathrm{tg}a=-1$.

в) $f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}$ и $x_0=-0,1$

Шаг 1: Упрощение выражения для функции $f(x)$

Для начала упростим выражение для функции:

$$f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}\mathrm{.}$$

Разделим каждый член числителя на $x^2$:

$$f(x)=x^2-3x+\frac{1}{x}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

Теперь найдем производную от функции $f(x)=x^2-3x+\frac{1}{x}$:

• Производная от $x^2$ по $x$ равна $2x$,
• Производная от $-3x$ по $x$ равна $-3$,
• Производная от $\frac{1}{x}$ по $x$ равна $-\frac{1}{x^2}$.

Таким образом, получаем:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-3-\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисление производной в точке $x_0=-0,1$

Теперь подставим $x_0=-0,1$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-0,1)=2(-0,1)-3-\frac{1}{(-0,1{)}^2}=-0,2-3-\frac{1}{0,01}=$$

$$=-0,2-3-100=-103,2.$$

Ответ: $\mathrm{tg}a=-103,2$.

г) $f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}$ и $x_0=-5$

Шаг 1: Упрощение выражения для функции $f(x)$

Мы видим, что выражение под кубическим корнем можно записать как куб разности:

$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2{)}^3\mathrm{.}$$

Таким образом, функция $f(x)$ примет вид:

$$f(x)=\sqrt[3]{(x-2{)}^3}=x-2.$$

Шаг 2: Нахождение производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

Теперь найдем производную от функции $f(x)=x-2$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1.$$

Шаг 3: Вычисление производной в точке $x_0=-5$

Производная постоянна и равна 1, следовательно:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-5)=1.$$

Ответ: $\mathrm{tg}a=1$.