ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите, какой знак имеет производная функции $y=f(x)$ в точках с абсциссами $a,b,c,d$:

а) рис. 96;
б) рис. 97.

Производная функции положительна на тех промежутках, на которых функция возрастает, и отрицательна на тех промежутках, на которых функция убывает;

а) Рисунок 96:

Производная положительна в точках с абсциссами $a,b$ и $d$;

Производная отрицательна в точке с абсциссой $c$;

б) Рисунок 97:

Производная положительна в точках с абсциссами $a,c$ и $d$;

Производная отрицательна в точках с абсциссой $b$.

Определите, какой знак имеет производная функции $y=f(x)$ в точках с абсциссами $a,b,c,d$:

а) Рисунок 96
б) Рисунок 97

Теория: Как связана производная с графиком функции

1. Производная функции в точке $x_0$ — это численная характеристика, которая показывает, с какой скоростью и в каком направлении изменяется значение функции около этой точки.
2. Геометрически, производная — это угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.
3. Знак производной (то есть, положительная она или отрицательная) говорит нам:
   • Если график возрастает в точке — производная положительна.
   • Если график убывает в точке — производная отрицательна.
   • Если в точке локальный максимум или минимум (то есть касательная горизонтальна) — производная равна нулю.

а) Рисунок 96:

Рассмотрим каждую точку:

Точка $a$:

• На участке около $a$ график функции идёт вверх.
• Значит, функция возрастает.
• → Производная положительна: $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$

Точка $b$:

• График снова идёт вверх вблизи точки $b$.
• Значит, снова функция возрастает.
• → Производная положительна: $f^{\mathrm{\prime }}(b)>0$

Точка $c$:

• В этом месте график функции идёт вниз.
• Это значит, что функция убывает.
• → Производная отрицательна: $f^{\mathrm{\prime }}(c)<0$

Точка $d$:

• Функция снова возрастает.
• Значит, наклон касательной положителен.
• → Производная положительна: $f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$

Вывод для рисунка 96:

• $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(b)>0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(c)<0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$

б) Рисунок 97:

Рассмотрим каждую точку:

Точка $a$:

• График возрастает.
• → $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$

Точка $b$:

• График идёт вниз.
• → $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$

Точка $c$:

• График снова идёт вверх.
• → $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$

Точка $d$:

• График возрастает.
• → $f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$

Вывод для рисунка 97:

• $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(b)<0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(c)>0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(d)>0$

Окончательные ответы:

а) Рисунок 96:

• Производная положительна в точках: $a,b,d$
• Производная отрицательна в точке: $c$

б) Рисунок 97:

• Производная положительна в точках: $a,c,d$
• Производная отрицательна в точке: $b$