ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает на R:

а) $y = \cos x + 2x$;

б) $y = \sin x + x^3 + x$;

в) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = \cos x + 2x$;
$y’ = (\cos x)’ + (2x)’ = -\sin x + 2$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$;
$2 > 1$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

б) $y = \sin x + x^3 + x$;
$y’ = (\sin x)’ + (x^3)’ + (x)’ = \cos x + 3x^2 + 1$;
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$3x^2 \geq 0$, значит $y’ \geq 0$ при любом значении $x$;

в) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;
$y’ = (x^5)’ + 3(x^3)’ + (7x + 4)’ = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 + 7 = 5x^4 + 9x^2 + 7$;
$5x^4 \geq 0$ и $9x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$;
$y’ = (x^5)’ + 4(x^3)’ + (8x — 8)’ = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 + 8 = 5x^4 + 12x^2 + 8$;
$5x^4 \geq 0$ и $12x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$

Тема: Исследование функции на возрастание по производной

Задание: Установить, возрастает ли функция на всей числовой прямой.

Метод: Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$, т.е. $y'(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = \cos x + 2x$

Шаг 1: Найдём производную функции
Используем правило дифференцирования суммы:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\cos x + 2x) = \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(2x)$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}(2x) = 2$$

Следовательно:

$$y’ = -\sin x + 2$$

Шаг 2: Проанализируем знак производной
Знаем, что функция $\sin x$ колеблется в пределах от -1 до 1:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -1 \leq -\sin x \leq 1 \Rightarrow -1 \leq -\sin x \leq 1$$

Теперь прибавим 2 к выражению $-\sin x$:

$$-1 + 2 \leq -\sin x + 2 \leq 1 + 2 \Rightarrow 1 \leq y’ \leq 3$$

То есть:

$$y’ = -\sin x + 2 \geq 1 > 0 \quad \text{при любом } x$$

Вывод:

Так как $y'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = \sin x + x^3 + x$

Шаг 1: Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x + x^3 + x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x)$$ $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, \quad \frac{d}{dx}(x) = 1$$ $$y’ = \cos x + 3x^2 + 1$$

Шаг 2: Оценим минимальное значение производной
Известно, что $-1 \leq \cos x \leq 1$, а $3x^2 \geq 0$ для всех $x$, и $1 > 0$

Наименьшее значение достигается при $\cos x = -1$:

$$y’ \geq -1 + 3x^2 + 1 = 3x^2 \Rightarrow y’ \geq 0$$

Поскольку $3x^2 \geq 0$ при любом $x$, значит:

$$y'(x) \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Функция не убывает, и даже возрастает почти везде, так как производная равна нулю только в точке $x = 0$, а положительна в остальных. Следовательно, она возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$

Шаг 1: Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(3x^3) + \frac{d}{dx}(7x + 4) = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 + 7$$ $$y’ = 5x^4 + 9x^2 + 7$$

Шаг 2: Проанализируем знак производной

Каждое слагаемое:

• $5x^4 \geq 0$
• $9x^2 \geq 0$
• $7 > 0$

Сумма неотрицательных и положительного числа даёт строго положительное значение:

$$y'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0 \quad \text{при любом } x$$

Вывод:

Производная всегда положительна, значит, функция строго возрастает на всей числовой прямой.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$

Шаг 1: Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(4x^3) + \frac{d}{dx}(8x — 8) = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 + 8$$ $$y’ = 5x^4 + 12x^2 + 8$$

Шаг 2: Проанализируем знак производной

• $5x^4 \geq 0$
• $12x^2 \geq 0$
• $8 > 0$

Снова: сумма двух неотрицательных и одного положительного числа:

$$y'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0 \quad \text{при любом } x$$

Вывод:

Функция строго возрастает на всей числовой прямой.

Общий вывод по задаче:

Во всех четырёх пунктах производные функций неотрицательны на всей числовой прямой, причём в трёх случаях они строго положительны, а в одном — равны нулю только в одной точке. Значит, все функции возрастают на всей числовой прямой.