ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция убывает на R:

а) $y = \sin 2x — 3x$;

б) $y = \cos 3x — 4x$

Функция убывает на всей числовой прямой, если ее производная неположительна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = \sin 2x — 3x$;
$y’ = (\sin 2x)’ — (3x)’ = 2\cos 2x — 3$;
$-1 \leq \cos 2x \leq 1$;
$-2 \leq 2\cos 2x \leq 2$;
$3 > 2$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;

б) $y = \cos 3x — 4x$;
$y’ = (\cos 3x)’ — (4x)’ = -3\sin 3x — 4$;
$-1 \leq \sin 3x \leq 1$;
$-3 \leq \sin 3x \leq 3$;
$4 > 3$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$

Тема: Исследование функции на убывание по производной

Ключевая идея:

Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная неположительна при любом допустимом значении переменной $x$, т.е.:

$$y'(x) \leq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

а) $y = \sin 2x — 3x$

Шаг 1. Найдём производную

Функция состоит из двух слагаемых:

• $\sin 2x$ — сложная тригонометрическая функция,
• $-3x$ — линейная функция.

Найдём производную по правилу:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin 2x) — \frac{d}{dx}(3x)$$

• Производная $\sin 2x$ по правилу цепочки:

$$\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$$

• Производная $3x$:

$$\frac{d}{dx}(3x) = 3$$

Подставим:

$$y’ = 2\cos 2x — 3$$

Шаг 2. Проанализируем знак производной

Знаем, что функция $\cos \theta$ всегда лежит в пределах от -1 до 1:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$

Умножим все части на 2:

$$-2 \leq 2\cos 2x \leq 2$$

Теперь вычтем 3 из всех частей:

$$-2 — 3 \leq 2\cos 2x — 3 \leq 2 — 3 \Rightarrow -5 \leq y’ \leq -1$$

То есть:

$$y'(x) < 0 \quad \text{при любом } x$$

Вывод по пункту а):

Производная всегда отрицательна, значит функция строго убывает на всей числовой прямой.

б) $y = \cos 3x — 4x$

Шаг 1. Найдём производную

Опять применим правила дифференцирования к каждому слагаемому:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\cos 3x) — \frac{d}{dx}(4x)$$

• Производная $\cos 3x$ по правилу цепочки:

$$\frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3\sin 3x$$

• Производная $4x$:

$$\frac{d}{dx}(4x) = 4$$

Подставим:

$$y’ = -3\sin 3x — 4$$

Шаг 2. Оценим значение производной

Сначала отметим, что:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1$$

Умножим на -3 (знак неравенства меняется):

$$-3 \cdot 1 \leq -3\sin 3x \leq -3 \cdot (-1) \Rightarrow -3 \leq -3\sin 3x \leq 3$$

Теперь вычтем 4:

$$-3 — 4 \leq -3\sin 3x — 4 \leq 3 — 4 \Rightarrow -7 \leq y’ \leq -1$$

Значит:

$$y'(x) < 0 \quad \text{при любом } x$$

Вывод по пункту б):

Производная отрицательна на всей числовой прямой, следовательно, функция строго убывает на всей числовой прямой.

Общий вывод по задаче:

Для обоих пунктов:

• Производные функций отрицательны при всех значениях $x$.
• Это означает, что функции строго убывают на всей числовой прямой.

Таким образом, оба утверждения верны и полностью соответствуют определению убывающей функции.