ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности.

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$;

б) $y = x — \cos x + 8$;

в) $y = \sin x — 2x — 15$;

г) $y = 11 — 5x — x^3$

Функция монотонна на всей числовой прямой, если знак ее производной одинаков при любом допустимом значении $x$;

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$;
$y’ = (x^5)’ + 6(x^3)’ — (7)’ = 5x^4 + 6 \cdot 3x^2 — 0 = 5x^4 + 18x^2$;
$5x^4 \geq 0$ и $18x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;
Ответ: функция возрастает.

б) $y = x — \cos x + 8$;
$y’ = (x)’ — (\cos x)’ + (8)’ = 1 — (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$, значит $y’ \geq 0$ при любом значении $x$;
Ответ: функция возрастает.

в) $y = \sin x — 2x — 15$;
$y’ = (\sin x)’ — (2x + 15)’ = \cos x — 2$;
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$2 > 1$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;
Ответ: функция убывает.

г) $y = 11 — 5x — x^3$;
$y’ = (11 — 5x)’ — (x^3)’ = -5 — 3x^2$;
$-3x^2 \leq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;
Ответ: функция убывает.

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$

Шаг 1: Найдём производную функции.

Производная суммы равна сумме производных:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(6x^3) — \frac{d}{dx}(7)$$

Вычислим каждую производную отдельно:

• $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$
• $\frac{d}{dx}(6x^3) = 6 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 6 \cdot 3x^2 = 18x^2$
• $\frac{d}{dx}(7) = 0$

Следовательно:

$$y’ = 5x^4 + 18x^2$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Рассмотрим выражение:

$$y'(x) = 5x^4 + 18x^2$$

Оба слагаемых — это даже степени переменной $x$, умноженные на положительные коэффициенты. Значит:

• $x^4 \geq 0$ при любом $x$
• $x^2 \geq 0$ при любом $x$
• $5x^4 + 18x^2 \geq 0$

Причём:

• $y'(x) = 0$ только в одной точке: $x = 0$
• при всех других $x \neq 0$: $y'(x) > 0$

Шаг 3: Вывод.

Производная неотрицательна на всей числовой прямой, и положительна при всех $x \neq 0$.

Следовательно:

• функция возрастает на всей числовой прямой,
• в точке $x = 0$ производная равна нулю, но это не нарушает монотонность, так как знак производной не меняется.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = x — \cos x + 8$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(8)$$

Вычислим:

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$, значит $-(-\sin x) = \sin x$
• $\frac{d}{dx}(8) = 0$

Получаем:

$$y’ = 1 + \sin x$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Знаем, что $\sin x \in [-1, 1]$, тогда:

$$1 + \sin x \in [0, 2]$$

То есть:

• $y'(x) \geq 0$ при любом $x$
• $y'(x) = 0$ только в точках, где $\sin x = -1$ (например, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$)

Шаг 3: Вывод.

Производная неотрицательна при всех $x$, и нигде не становится отрицательной. Следовательно:

• функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = \sin x — 2x — 15$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) — \frac{d}{dx}(2x) — \frac{d}{dx}(15)$$

Вычислим:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
• $\frac{d}{dx}(15) = 0$

Получаем:

$$y’ = \cos x — 2$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Знаем, что $\cos x \in [-1, 1]$. Тогда:

$$y'(x) = \cos x — 2 \leq 1 — 2 = -1$$

Также:

$$\cos x — 2 \geq -1 — 2 = -3$$

То есть:

$$y'(x) \in [-3, -1] \quad \Rightarrow \quad y'(x) < 0 \quad \text{при любом } x$$

Шаг 3: Вывод.

Производная всегда отрицательна, значит:

• функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на всей числовой прямой.

г) $y = 11 — 5x — x^3$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(11) — \frac{d}{dx}(5x) — \frac{d}{dx}(x^3)$$

Вычислим:

• $\frac{d}{dx}(11) = 0$
• $\frac{d}{dx}(5x) = 5$
• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

Получаем:

$$y’ = -5 — 3x^2$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Так как $x^2 \geq 0$ при любом $x$, то:

$$3x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -3x^2 \leq 0$$

Тогда:

$$y'(x) = -5 — 3x^2 \leq -5 \quad \text{при любом } x$$

То есть:

• производная всегда отрицательна.

Шаг 3: Вывод.

Производная меньше нуля при любом $x$, значит:

• функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на всей числовой прямой.