ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = x^5 + 3x — 6$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 15 — \frac{2}{x} — \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0)$;

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$ на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = 21x — \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty)$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = x^5 + 3x — 6$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = (x^5)’ + (3x — 6)’ = 5x^4 + 3$;
$5x^4 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

б) $y = 15 — \frac{2}{x} — \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0)$;
$y’ = (15)’ — 2 \left( \frac{1}{x} \right)’ — (x^{-3})’ = 0 — 2 \left( -\frac{1}{x^2} \right) — (-3x^{-4}) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$;
$x^2 \geq 0$ и $x^4 > 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = (x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x — 42)’ = 7x^6 + 7 \cdot 3x^2 + 2 = 7x^6 + 21x^2 + 2$;
$7x^6 \geq 0$ и $21x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

г) $y = 21x — \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty)$;
$y’ = (21x)’ — (x^{-5})’ = 21 — (-5x^{-6}) = 21 + \frac{5}{x^6}$;
$x^6 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$.

Теория:

Функция возрастает на всей числовой прямой (или заданном промежутке), если её производная неотрицательна при всех допустимых значениях $x$, то есть

$$y'(x) \geq 0 \quad \text{на всём промежутке}.$$

Если производная строго положительна $y'(x) > 0$ — функция строго возрастает.

а) $y = x^5 + 3x — 6$ на $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную функции.

$$y = x^5 + 3x — 6$$

Производная суммы равна сумме производных:

$$y’ = (x^5)’ + (3x)’ + (-6)’ = 5x^4 + 3 + 0 = 5x^4 + 3$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

$5x^4 \geq 0$ для всех $x$, так как четная степень любого числа всегда неотрицательна.
$+3$ — это положительное число.

$$\Rightarrow y'(x) = 5x^4 + 3 > 0 \quad \text{при любом } x \in (-\infty; +\infty)$$

Вывод:
Производная положительна на всей числовой прямой → функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 15 — \dfrac{2}{x} — \dfrac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0)$

Шаг 1: Найдём производную.

Преобразуем в степень:

$$y = 15 — 2x^{-1} — x^{-3}$$

Находим производную каждого слагаемого:

$$y’ = (15)’ — 2(x^{-1})’ — (x^{-3})’$$ $$= 0 — 2(-x^{-2}) — (-3x^{-4}) = 2x^{-2} + 3x^{-4}$$

Переходим к обычным дробям:

$$y’ = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

На промежутке $(-\infty; 0)$:

• $x^2 > 0$, так как квадрат любого ненулевого числа положителен.
• $x^4 > 0$ по той же причине.

Следовательно:

$$y'(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4} > 0 \quad \text{при любом } x \in (-\infty; 0)$$

Вывод:
Производная положительна → функция строго возрастает на $(-\infty; 0)$.

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$ на $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = (x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x)’ + (-42)’ = 7x^6 + 21x^2 + 2 + 0 = 7x^6 + 21x^2 + 2$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

• $7x^6 \geq 0$, так как шестая степень любого числа — неотрицательна.
• $21x^2 \geq 0$, по тем же причинам.
• $+2 > 0$ — положительное число.

Следовательно:

$$y'(x) = 7x^6 + 21x^2 + 2 > 0 \quad \text{при любом } x \in (-\infty; +\infty)$$

Вывод:
Функция строго возрастает на всей числовой прямой.

г) $y = 21x — \dfrac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную.

Представим как степени:

$$y = 21x — x^{-5}$$ $$y’ = (21x)’ — (x^{-5})’ = 21 — (-5x^{-6}) = 21 + 5x^{-6}$$

Или:

$$y’ = 21 + \frac{5}{x^6}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

На промежутке $(0; +\infty)$:

• $x^6 > 0$, так как шестая степень положительного числа всегда положительна.
• $\frac{5}{x^6} > 0$

Значит:

$$y'(x) = 21 + \frac{5}{x^6} > 0 \quad \text{при любом } x \in (0; +\infty)$$

Вывод:
Производная положительна → функция строго возрастает на $(0; +\infty)$.