ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = 7x — \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = 7x — \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = (7x)’ — (\cos 2x)’ = 7 — (-2 \sin 2x) = 7 + 2 \sin 2x$;
$-1 \leq \sin 2x \leq 1$;
$-2 \leq \sin 2x \leq 2$;
$7 > 2$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = (10x)’ + (\sin 3x)’ = 10 + 3 \cos 3x$;
$-1 \leq \cos 3x \leq 1$;
$-3 \leq \cos 3x \leq 3$;
$10 > 3$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$

Теоретическая база:
Функция $y = f(x)$ возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при всех допустимых значениях переменной $x$:

$$f'(x) \geq 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}.$$

Если производная строго положительна:

$$f'(x) > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R},$$

то функция строго возрастает на всей числовой прямой.

а) $y = 7x — \cos 2x$, $x \in (-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную.

Производная от $7x$ по правилу дифференцирования линейной функции:

$$(7x)’ = 7$$

Производная от $-\cos 2x$. По правилу цепочки:

$$(\cos u)’ = -\sin u \cdot u’, \quad u = 2x \Rightarrow (\cos 2x)’ = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x$$

Следовательно:

$$(-\cos 2x)’ = -(-2\sin 2x) = 2\sin 2x$$

Объединяем:

$$y’ = 7 + 2\sin 2x$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Значения синуса всегда лежат в пределах от –1 до 1:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1$$

Домножим это неравенство на 2:

$$-2 \leq 2\sin 2x \leq 2$$

Прибавим 7 к каждой части неравенства:

$$5 \leq 7 + 2\sin 2x \leq 9$$

Следовательно:

$$y'(x) = 7 + 2\sin 2x > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Производная положительна на всей числовой прямой → функция $y = 7x — \cos 2x$ строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 10x + \sin 3x$, $x \in (-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную.

Производная от $10x$:

$$(10x)’ = 10$$

Производная от $\sin 3x$. По правилу цепочки:

$$(\sin u)’ = \cos u \cdot u’, \quad u = 3x \Rightarrow (\sin 3x)’ = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$$

Объединяем:

$$y’ = 10 + 3\cos 3x$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Значения косинуса также находятся в пределах:

$$-1 \leq \cos 3x \leq 1$$

Домножим неравенство на 3:

$$-3 \leq 3\cos 3x \leq 3$$

Прибавим 10 ко всем частям:

$$7 \leq 10 + 3\cos 3x \leq 13$$

Следовательно:

$$y'(x) = 10 + 3\cos 3x > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Производная положительна при любом $x$ → функция $y = 10x + \sin 3x$ строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.