ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$ на $(-\infty; +\infty)$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y = 2(x^3)’ + 2(x^2)’ + (11x — 35)’$;

$y’ = 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 11 = 6x^2 + 4x + 11$;

$6x^2 + 4x + 11 = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 — 264 = -248$;

$D < 0$, значит корней нет;

$a = 6 > 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

б) $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y’ = 3(x^3)’ — 6(x^2)’ + (41x — 137)’$;

$y’ = 3 \cdot 3x^2 — 6 \cdot 2x + 41 = 9x^2 — 12x + 41$;

$9x^2 — 12x + 41 = 0$;

$D = 12^2 — 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 — 1476 = -1332$;

$D < 0$, значит корней нет;

$a = 9 > 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$

Теория:
Функция $y = f(x)$ возрастает на всей числовой прямой, если её производная $f'(x)$ неотрицательна при всех допустимых значениях переменной $x$:

$$f'(x) \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}.$$

Если $f'(x) > 0$ для всех $x$, то функция строго возрастает.

а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$ на $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную функции.

Функция состоит из суммы четырёх слагаемых. Найдём производную каждого:

$$y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$$

• Производная от $2x^3$ по правилу степенной функции:

  $$(2x^3)’ = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$$

• Производная от $2x^2$:

  $$(2x^2)’ = 2 \cdot 2x = 4x$$

• Производная от $11x$:

  $$(11x)’ = 11$$

• Производная от постоянного числа $-35$ равна нулю:

  $$(-35)’ = 0$$

Собираем вместе:

$$y’ = 6x^2 + 4x + 11$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Это квадратный трёхчлен. Его знак определяется:

• Знаком старшего коэффициента $a = 6$
• Наличием или отсутствием действительных корней уравнения $y’ = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 — 264 = -248$$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, значит, знак производной не меняется.

А так как $a = 6 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и значение производной всегда положительно:

$$y'(x) = 6x^2 + 4x + 11 > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x — 35$ строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$, потому что её производная всегда положительна.

б) $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$ на $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Найдём производную.

Разберём по слагаемым:

$$y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$$

• Производная от $3x^3$:

  $$(3x^3)’ = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$$

• Производная от $-6x^2$:

  $$(-6x^2)’ = -6 \cdot 2x = -12x$$

• Производная от $41x$:

  $$(41x)’ = 41$$

• Производная от $-137$:

  $$(-137)’ = 0$$

Собираем вместе:

$$y’ = 9x^2 — 12x + 41$$

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Это снова квадратный трёхчлен. Рассчитаем его дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 — 1476 = -1332$$

Дискриминант отрицательный $D < 0$ → корней уравнение не имеет.

Старший коэффициент $a = 9 > 0$, значит парабола направлена вверх, и производная всегда положительна:

$$y'(x) = 9x^2 — 12x + 41 > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Функция $y = 3x^3 — 6x^2 + 41x — 137$ строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$, так как её производная положительна при всех значениях $x$.