ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = \frac{4x}{4x + 1}$ на $\left( -\frac{1}{4}; +\infty \right)$;

б) $y = \frac{2x — 13}{x — 5}$ на $(-\infty; 5)$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная неотрицательна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = \frac{4x}{4x + 1}$ на $\left( -\frac{1}{4}; +\infty \right)$;

$y’ = \frac{(4x)'(4x + 1) — 4x(4x + 1)’}{(4x + 1)^2}$;

$y’ = \frac{4(4x + 1) — 4x \cdot 4}{(4x + 1)^2} = \frac{16x + 4 — 16x}{(4x + 1)^2} = \frac{4}{(4x + 1)^2}$;

$(4x + 1)^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

б) $y = \frac{2x — 13}{x — 5}$ на $(-\infty; 5)$;

$y’ = \frac{(2x — 13)'(x — 5) — (2x — 13)(x — 5)’}{(x — 5)^2}$;

$y’ = \frac{2(x — 5) — (2x — 13)}{(x — 5)^2} = \frac{2x — 10 — 2x + 13}{(x — 5)^2} = \frac{3}{(x — 5)^2}$;

$(x — 5)^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$

Теория:
Функция $y = f(x)$ возрастает на всей числовой прямой (или заданном промежутке), если её производная $f'(x)$ неотрицательна при всех допустимых значениях переменной $x$:

$$f'(x) \geq 0$$

Если $f'(x) > 0$ всюду, то функция строго возрастает.

а) $y = \dfrac{4x}{4x + 1}$, область: $\left( -\dfrac{1}{4}; +\infty \right)$

Это дробно-рациональная функция: числитель и знаменатель — многочлены. Используем правило производной дроби:

Если

$$y = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad \text{то} \quad y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Здесь:

• $u(x) = 4x$, $u'(x) = 4$
• $v(x) = 4x + 1$, $v'(x) = 4$

Подставим в формулу:

$$y’ = \frac{4(4x + 1) — 4x \cdot 4}{(4x + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

• $4(4x + 1) = 16x + 4$
• $4x \cdot 4 = 16x$

$$y’ = \frac{16x + 4 — 16x}{(4x + 1)^2} = \frac{4}{(4x + 1)^2}$$

Анализ производной:

• Знаменатель $(4x + 1)^2 \geq 0$, квадрат выражения всегда неотрицателен.
• Так как $x > -\dfrac{1}{4}$, знаменатель не равен нулю.
• Числитель равен 4 — положительное число.

Значит:

$$y'(x) > 0 \quad \text{при любом } x \in \left( -\dfrac{1}{4}; +\infty \right)$$

Вывод:
Производная положительна на всём указанном промежутке, следовательно, функция

$$y = \dfrac{4x}{4x + 1}$$

строго возрастает на $\left( -\dfrac{1}{4}; +\infty \right)$.

б) $y = \dfrac{2x — 13}{x — 5}$, область: $(-\infty; 5)$

Это тоже дробно-рациональная функция. Применим правило производной дроби:

Здесь:

• $u(x) = 2x — 13$, $u'(x) = 2$
• $v(x) = x — 5$, $v'(x) = 1$

По формуле:

$$y’ = \frac{2(x — 5) — (2x — 13)}{(x — 5)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2(x — 5) = 2x — 10,\quad -(2x — 13) = -2x + 13$$

Складываем:

$$y’ = \frac{2x — 10 — 2x + 13}{(x — 5)^2} = \frac{3}{(x — 5)^2}$$

Анализ производной:

• Знаменатель $(x — 5)^2 > 0$, так как $x < 5 \Rightarrow x — 5 \ne 0$
• Числитель 3 — положительное число

Следовательно:

$$y'(x) > 0 \quad \text{при любом } x \in (-\infty; 5)$$

Вывод:
Производная положительна на всём промежутке $(-\infty; 5)$, значит, функция

$$y = \dfrac{2x — 13}{x — 5}$$

строго возрастает на $(-\infty; 5)$.$(-\infty; 5)$