ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция убывает:

а) $y = -x^3 — 5x + 3$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$ на $(-\infty; +\infty)$;

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$ на $(-\infty; +\infty)$

Функция убывает на всей числовой прямой, если ее производная неположительна при любом допустимом значении $x$;

а) $y = -x^3 — 5x + 3$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = -(x^3)’ — (5x — 3)’ = -3x^2 — 5;$
$-3x^2 \leq 0, \text{значит } y’ < 0 \text{ при любом значении } x;$

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$ на $(-\infty; +\infty)$;
$y’ = -2(x^5)’ — 7(x^3)’ — (x — 8)’;$
$y’ = -2 \cdot 5x^4 — 7 \cdot 3x^2 — 1 = -10x^4 — 21x^2 — 1;$
$-10x^4 \leq 0 \text{ и } (-21x^2) \leq 0, \text{значит } y’ < 0 \text{ при любом значении } x;$

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y’ = -(x^3)’ + 3(x^2)’ — (6x — 1)’;$
$y’ = -3x^2 + 3 \cdot 2x — 6 = -3x^2 + 6x — 6;$

$-3x^2 + 6x — 6 = 0;$
$D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 6 = 36 — 72 = -36;$
$D < 0, \text{значит корней нет; }$

$a = -3 < 0, \text{значит } y’ < 0 \text{ при любом значении } x;$

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$ на $(-\infty; +\infty)$;

$y’ = -4(x^3)’ + 4(x^2)’ — (2x — 9)’;$
$y’ = -4 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x — 2 = -12x^2 + 8x — 2;$

$-12x^2 + 8x — 2 = 0;$
$D = 8^2 — 4 \cdot 12 \cdot 2 = 64 — 96 = -32;$
$D < 0, \text{значит корней нет; }$

$a=-12<0,\text{значит }{y}^{\mathrm{\prime }}<0\text{ при любом значении }x$

а) $y = -x^3 — 5x + 3$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1. Найдем производную функции

По правилу дифференцирования суммы и произведения константы и функции:

$$y = -x^3 — 5x + 3 \Rightarrow y’ = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(-5x) + \frac{d}{dx}(3)$$ $$y’ = -3x^2 — 5 + 0 = -3x^2 — 5$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Поскольку $x^2 \geq 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, то $-3x^2 \leq 0$.
Добавим к этому отрицательное число $-5$:

$$y’ = -3x^2 — 5 < 0 \text{ при любом } x \in (-\infty; +\infty)$$

Вывод:

Производная всегда отрицательна ⇒ функция убывает на всей числовой прямой.

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1. Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(-2x^5) + \frac{d}{dx}(-7x^3) + \frac{d}{dx}(-x) + \frac{d}{dx}(8)$$ $$y’ = -10x^4 — 21x^2 — 1 + 0 = -10x^4 — 21x^2 — 1$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

• $x^4 \geq 0$, значит $-10x^4 \leq 0$
• $x^2 \geq 0$, значит $-21x^2 \leq 0$
• Добавим ещё $-1$

$$y’ = -10x^4 — 21x^2 — 1 < 0 \text{ при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Производная строго отрицательна на всей числовой прямой ⇒ функция убывает на всём $\mathbb{R}$.

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1. Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(-6x) + \frac{d}{dx}(1)$$ $$y’ = -3x^2 + 6x — 6$$

Шаг 2. Определим знак производной

Это квадратный трёхчлен:

$$y’ = -3x^2 + 6x — 6$$

Чтобы понять его знак, найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-6) = 36 — 72 = -36$$

Так как $D < 0$, корней нет.
А коэффициент при $x^2$ равен $a = -3 < 0$, значит парабола направлена вниз, и вся графика производной лежит ниже оси $x$.

$$\Rightarrow y’ < 0 \text{ при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Функция убывает на всей числовой прямой.

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$, область: $(-\infty; +\infty)$

Шаг 1. Найдём производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(-4x^3) + \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(-2x) + \frac{d}{dx}(9)$$ $$y’ = -12x^2 + 8x — 2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Анализируем квадратный трёхчлен:

$$y’ = -12x^2 + 8x — 2$$

Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-12) \cdot (-2) = 64 — 96 = -32$$

Так как $D < 0$, корней нет.
Коэффициент при $x^2$: $a = -12 < 0$, значит ветви параболы вниз ⇒ производная всегда отрицательна.

Вывод:

Производная $y’ < 0$ при любом $x$, значит функция строго убывает на всей числовой прямой.