ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция убывает:

а) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на $(-2; +\infty)$;

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на $\left( -\infty; -\frac{1}{2} \right)$

Функция убывает на всей числовой прямой, если ее производная неположительна при любом допустимом значении $x$.

а) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на $(-2; +\infty)$;

$y’ = \frac{(3x + 7)'(x + 2) — (3x + 7)(x + 2)’}{(x + 2)^2}$;

$y’ = \frac{3(x + 2) — (3x + 7)}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = -\frac{1}{(x + 2)^2}$;

$(x + 2)^2 \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на $\left( -\infty; -\frac{1}{2} \right)$;

$y’ = \frac{(-4x + 1)'(2x + 1) — (-4x + 1)(2x + 1)’}{(2x + 1)^2}$;

$y’ = \frac{-4(2x + 1) — 2(-4x + 1)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x — 4 + 8x — 2}{(2x + 1)^2} = -\frac{6}{(2x + 1)^2}$;

$(2x + 1)^2 \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$

Функция убывает, если её производная строго меньше нуля при всех допустимых значениях $x$ на заданном интервале.

а) $y = \dfrac{3x + 7}{x + 2}$, область: $(-2; +\infty)$

Шаг 1. Форма — дробь вида $\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Обозначим:

• $u(x) = 3x + 7$
• $v(x) = x + 2$

Шаг 2. Формула производной частного:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Шаг 3. Вычислим производную

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 7) = 3, \quad v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 2) = 1$$

Подставляем:

$$y’ = \frac{3(x + 2) — (3x + 7)(1)}{(x + 2)^2}$$

Шаг 4. Раскроем скобки и упростим числитель

$$y’ = \frac{3x + 6 — 3x — 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$$

Шаг 5. Анализ знака производной

• $(x + 2)^2 > 0$ при любом $x \in (-2; +\infty)$, так как квадрат положителен и знаменатель не обращается в ноль.
• Следовательно:

$$y’ = -\frac{1}{(x + 2)^2} < 0 \text{ при любом } x \in (-2; +\infty)$$

Вывод (а):

Производная строго меньше нуля на всём интервале ⇒
Функция строго убывает на $(-2; +\infty)$

б) $y = \dfrac{-4x + 1}{2x + 1}$, область: $\left( -\infty; -\dfrac{1}{2} \right)$

Шаг 1. Дробь вида $\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Обозначим:

• $u(x) = -4x + 1$
• $v(x) = 2x + 1$

Шаг 2. Формула производной:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Шаг 3. Производные числителя и знаменателя:

$$u'(x) = -4, \quad v'(x) = 2$$

Шаг 4. Подставим в формулу:

$$y’ = \frac{-4(2x + 1) — 2(-4x + 1)}{(2x + 1)^2}$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

• Первая часть числителя: $-4(2x + 1) = -8x — 4$
• Вторая часть: $-2(-4x + 1) = 8x — 2$

$$y’ = \frac{-8x — 4 + 8x — 2}{(2x + 1)^2}$$

Шаг 6. Упростим числитель:

$$-8x + 8x = 0, \quad -4 — 2 = -6 \Rightarrow y’ = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$$

Шаг 7. Анализ знака производной

• Знаменатель: $(2x + 1)^2 > 0$ при любом $x \in \left( -\infty; -\dfrac{1}{2} \right)$
• Значит:

$$y’ = -\frac{6}{(2x + 1)^2} < 0 \text{ при любом } x \text{ в области определения}$$

Вывод (б):

Производная всегда отрицательна ⇒
Функция строго убывает на $\left( -\infty; -\dfrac{1}{2} \right)$