ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику производной функции $y = f(x)$, представленному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция $y = f(x)$ возрастает, а на каких убывает:

а) рис. 98;
б) рис. 99;
в) рис. 100;
г) рис. 101.

Производная функции положительна на тех промежутках, на которых функция возрастает, и отрицательна на тех промежутках, на которых функция убывает;

а) Рисунок 98:

Функция возрастает на промежутках $(-∞; -\sqrt{3}) \cup [\sqrt{3}; +∞)$;

Функция убывает на промежутке $[-√3; √3]$;

б) Рисунок 99:

Функция возрастает на промежутках $(-∞; -4] \cup [0; 3]$;

Функция убывает на промежутках $[-4; 0) \cup (3; +∞)$;

в) Рисунок 100:

Функция возрастает на промежутке $(-∞; -6]$;

Функция убывает на промежутке $[-6; +∞)$;

г) Рисунок 101:

Функция возрастает на промежутке $[-2{,}75; 2{,}75]$;

Функция убывает на промежутках $(-∞; -2{,}75) \cup (2{,}75; +∞)$.

Теоретическая основа (что нужно понимать):

Функция $f(x)$ возрастает или убывает в зависимости от знака её производной $f'(x)$:

• Если $f'(x) > 0$ (график производной выше оси $x$), то функция возрастает.
• Если $f'(x) < 0$ (график производной ниже оси $x$), то функция убывает.
• Если $f'(x) = 0$ (график касается оси $x$), то это возможная точка экстремума (максимума или минимума).

а) Рисунок 98

Где график $f'(x) > 0$?

• Производная положительна на тех участках, где её график находится выше оси Ox.
• Это:
  • От $-\infty$ до $-\sqrt{3}$ (левее точки $-\sqrt{3}$);
  • От $\sqrt{3}$ до $+\infty$ (правее точки $\sqrt{3}$).

⇒ На этих промежутках функция возрастает.

Где график $f'(x) < 0$?

• Производная отрицательна на участке между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.
• То есть от $-\sqrt{3}$ до $\sqrt{3}$ включительно (если график касается оси).

⇒ На этом промежутке функция убывает.

Ответ:

• Функция возрастает: $(-\infty; -\sqrt{3}) \cup [\sqrt{3}; +\infty)$
• Функция убывает: $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$

б) Рисунок 99

Производная $f'(x) > 0$:

• График выше оси Ox на промежутках:
  • $(-\infty; -4]$ — левый хвост до точки $x = -4$
  • $[0; 3]$ — от 0 до 3

⇒ Функция возрастает на этих интервалах.

Производная $f'(x) < 0$:

• График ниже оси Ox на промежутках:
  • $(-4; 0)$
  • $(3; +\infty)$

⇒ Функция убывает на этих интервалах.

Ответ:

• Функция возрастает: $(-\infty; -4] \cup [0; 3]$
• Функция убывает: $(-4; 0) \cup (3; +\infty)$

в) Рисунок 100

Производная $f'(x) > 0$:

• Только на промежутке:
  • $(-\infty; -6]$

⇒ Функция возрастает.

Производная $f'(x) < 0$:

• От $-6$ до $+\infty$

⇒ Функция убывает.

Ответ:

• Функция возрастает: $(-\infty; -6]$
• Функция убывает: $[-6; +\infty)$

г) Рисунок 101

Производная $f'(x) > 0$:

• График выше оси Ox от $x = -2{,}75$ до $x = 2{,}75$

⇒ Функция возрастает.

Производная $f'(x) < 0$:

• График ниже оси Ox:
  • От $-\infty$ до $-2{,}75$
  • От $2{,}75$ до $+\infty$

⇒ Функция убывает.

Ответ:

• Функция возрастает: $[-2{,}75; 2{,}75]$
• Функция убывает: $(-\infty; -2{,}75) \cup (2{,}75; +\infty)$