ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = x^3 + 2x$;

б) $y = 60 + 45x — 3x^2 — x^3$;

в) $y = 2x^3 — \frac{3}{2}x^2 — 36x + 40$;

г) $y = -x^5 + 5x$

а) $y = x^3 + 2x$;
$y’ = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$;
$3x^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 60 + 45x — 3x^2 — x^3$;

$y’ = (60 + 45x)’ — 3(x^2)’ — (x^3)’$;
$y’ = 45 — 3 \cdot 2x — 3x^2 = 45 — 6x — 3x^2$;

$-3x^2 — 6x + 45 = 0 \quad |:(-3)$;
$x^2 + 2x — 15 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$;

$-3(x + 5)(x — 3) \geq 0$;
$-5 \leq x \leq 3$;
Ответ: возрастает на $[-5; 3]$ и убывает на $(-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.

в) $y = 2x^3 — \frac{3}{2}x^2 — 36x + 40$;

$y’ = 2(x^3)’ — \frac{3}{2}(x^2)’ — (36x + 40)’$;
$y’ = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x — 36 = 6x^2 — 6x — 36$;

$6x^2 — 6x — 36 = 0 \quad |:6$;
$x^2 — x — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;

$6(x + 2)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 3$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$ и убывает на $[-2; 3]$.

г) $y = -x^5 + 5x$;

$y’ = -(x^5)’ + (5x)’ = -5x^4 + 5$;

$-5x^4 + 5 \geq 0 \quad |:(-5)$;
$x^4 — 1 \leq 0$;
$x^4 \leq 1$;
$-1 \leq x \leq 1$;
Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

а) $y = x^3 + 2x$

Шаг 1: Найдём производную функции.
Применим правило производной суммы:

$$y’ = (x^3)’ + (2x)’$$

• Производная $x^3$ равна $3x^2$ (по правилу степенной функции).
• Производная $2x$ равна $2$ (константу выносим, $(x)’ = 1$).

$$y’ = 3x^2 + 2$$

Шаг 2: Определим знак производной.

Заметим, что $3x^2 \geq 0$ при любом $x$, а значит $3x^2 + 2 > 0$ всегда.

Шаг 3: Сделаем вывод.
Так как производная положительна на всей области определения, функция возрастает на:

$$(-\infty; +\infty)$$

Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 60 + 45x — 3x^2 — x^3$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = (60)’ + (45x)’ — (3x^2)’ — (x^3)’$$

• $(60)’ = 0$
• $(45x)’ = 45$
• $(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$
• $(x^3)’ = 3x^2$

$$y’ = 45 — 6x — 3x^2$$

Шаг 2: Найдём критические точки (где $y’ = 0$).

Решим уравнение:

$$45 — 6x — 3x^2 = 0$$

Разделим обе части на $-3$ для удобства:

$$x^2 + 2x — 15 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

Шаг 3: Исследуем знак производной.

Рассмотрим неравенство:

$$y’ = -3(x + 5)(x — 3)$$

Решаем:

$$-3(x + 5)(x — 3) \geq 0$$

Промежутки:

• Выражение положительно или ноль при $x \in [-5; 3]$
• Отрицательно вне этих промежутков

Шаг 4: Делим область на интервалы:

• Возрастает при $y’ \geq 0$: $[-5; 3]$
• Убывает при $y’ < 0$: $(-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$

Ответ: возрастает на $[-5; 3]$ и убывает на $(-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.

в) $y = 2x^3 — \frac{3}{2}x^2 — 36x + 40$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = (2x^3)’ — \left( \frac{3}{2}x^2 \right)’ — (36x)’ + (40)’$$

• $(2x^3)’ = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$
• $\left( \frac{3}{2}x^2 \right)’ = \frac{3}{2} \cdot 2x = 3x$
• $(36x)’ = 36$
• $(40)’ = 0$

$$y’ = 6x^2 — 3x — 36$$

Шаг 2: Найдём нули производной.

$$6x^2 — 6x — 36 = 0 \quad |:6$$ $$x^2 — x — 6 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Шаг 3: Определим интервалы монотонности.

Разложим:

$$y’ = 6(x + 2)(x — 3)$$

Рассмотрим знак производной:

• $y’ > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$
• $y’ = 0$ при $x = -2, 3$
• $y’ < 0$ при $x \in (-2; 3)$

Ответ: возрастает на $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$, убывает на $[-2; 3]$.

г) $y = -x^5 + 5x$

Шаг 1: Найдём производную.

$$y’ = (-x^5)’ + (5x)’ = -5x^4 + 5$$

Шаг 2: Найдём, где производная неотрицательна.

$$-5x^4 + 5 \geq 0 \quad |:(-5)$$ $$x^4 — 1 \leq 0$$

Решаем:

$$x^4 \leq 1$$

Так как $x^4 \geq 0$, то:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Шаг 3: Делим область на интервалы:

• Возрастает при $x \in [-1; 1]$
• Убывает при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

Ответ: возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.