ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y=\frac{3x-1}{3x+1}$

б) $y=\frac{1-2x}{3+2x}$

а) $y = \frac{3x — 1}{3x + 1}$

$y’ = \frac{(3x — 1)'(3x + 1) — (3x — 1)(3x + 1)’}{(3x + 1)^2}$;

$y’ = \frac{3(3x + 1) — (3x — 1) \cdot 3}{(3x + 1)^2} = \frac{9x + 3 — 9x + 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6}{(3x + 1)^2}$;

$(3x + 1)^2 \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

Выражение имеет смысл при:

$3x + 1 \neq 0$;

$3x \neq -1$, отсюда $x \neq -\frac{1}{3}$;

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( -\frac{1}{3}; +\infty \right)$.

б) $y = \frac{1 — 2x}{3 + 2x}$

$y’ = \frac{(1 — 2x)'(3 + 2x) — (1 — 2x)(3 + 2x)’}{(3 + 2x)^2}$;

$y’ = \frac{-2(3 + 2x) — (1 — 2x) \cdot 2}{(3 + 2x)^2} = \frac{-6 — 4x — 2 + 4x}{(3 + 2x)^2} = \frac{-8}{(3 + 2x)^2}$;

$(3 + 2x)^2 \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;

Выражение имеет смысл при:

$3 + 2x \neq 0$;

$2x \neq -3$, отсюда $x \neq -1{,}5$;

Ответ: убывает на $(-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; +\infty)$.

а) $y = \frac{3x — 1}{3x + 1}$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Используем правило производной дроби:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Здесь:

• $u = 3x — 1$,
• $v = 3x + 1$

Вычислим производные:

• $u’ = (3x — 1)’ = 3$
• $v’ = (3x + 1)’ = 3$

Подставим в формулу:

$$y’ = \frac{3(3x + 1) — (3x — 1)\cdot 3}{(3x + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3(3x + 1) = 9x + 3$$ $$(3x — 1)\cdot 3 = 9x — 3$$ $$y’ = \frac{9x + 3 — (9x — 3)}{(3x + 1)^2}$$

Упрощаем:

$$y’ = \frac{9x + 3 — 9x + 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6}{(3x + 1)^2}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

$$y’ = \frac{6}{(3x + 1)^2}$$

• Числитель — постоянное число $6 > 0$
• Знаменатель — квадрат выражения $(3x + 1)^2 \geq 0$, и равен нулю только при $x = -\frac{1}{3}$

Но при $x = -\frac{1}{3}$ знаменатель обращается в 0, значит, в этой точке функция не определена.

В остальных случаях:

• $(3x + 1)^2 > 0$
• Следовательно, $y’ > 0$

Шаг 3: Область определения

Функция дробная, знаменатель $3x + 1$ не должен равняться 0:

$$3x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}$$

Шаг 4: Делим область на интервалы

Так как $y’ > 0$ при любом допустимом $x$, то функция возрастает на всех промежутках своей области определения:

$$\boxed{(-\infty; -\tfrac{1}{3}) \cup (-\tfrac{1}{3}; +\infty)}$$

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( -\frac{1}{3}; +\infty \right)$

б) $y = \frac{1 — 2x}{3 + 2x}$

Шаг 1: Найдём производную функции $y$

Используем правило производной дроби:

Здесь:

• $u = 1 — 2x$, $u’ = -2$
• $v = 3 + 2x$, $v’ = 2$

Подставим в формулу:

$$y’ = \frac{(-2)(3 + 2x) — (1 — 2x)(2)}{(3 + 2x)^2}$$

Вычислим числитель:

$$-2(3 + 2x) = -6 — 4x$$ $$(1 — 2x)\cdot 2 = 2 — 4x$$

Значит числитель:

$$-6 — 4x — (2 — 4x) = -6 — 4x — 2 + 4x = -8$$

Получаем:

$$y’ = \frac{-8}{(3 + 2x)^2}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

$$y’ = \frac{-8}{(3 + 2x)^2}$$

• Числитель $-8 < 0$
• Знаменатель — $(3 + 2x)^2 \geq 0$, равен 0 при $x = -\frac{3}{2}$

Значит:

• $y’ < 0$ при любом $x \ne -\frac{3}{2}$
• В точке $x = -\frac{3}{2}$ производная не существует, потому что знаменатель равен нулю

Шаг 3: Область определения

Знаменатель $3 + 2x \neq 0$, значит:

$$2x \neq -3 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$$

Шаг 4: Делим область на интервалы

На каждом промежутке области определения $y’ < 0$, значит функция убывает.

Промежутки убывания:

$$\boxed{(-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; +\infty)}$$

Ответ: убывает на $(-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; +\infty)$