ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = \sqrt{3x — 1}$;

б) $y = \sqrt{1 — x} + 2x$;

в) $y = \sqrt{1 — 2x}$;

г) $y = \sqrt{2x — 1} — x$

а) $y = \sqrt{3x — 1}$;

$y’ = (\sqrt{3x — 1})’ = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x — 1}} = \frac{1{,}5}{\sqrt{3x — 1}}$;

$\sqrt{3x — 1} \geq 0$, значит $y’ > 0$ при любом значении $x$;

Выражение имеет смысл при:

$3x — 1 \geq 0$;

$3x \geq 1$, отсюда $x \geq \frac{1}{3}$;

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{1}{3}; +\infty \right)$.

б) $y = \sqrt{1 — x} + 2x$;

$y’ = (\sqrt{1 — x})’ + (2x)’ = -1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} + 2 = \frac{0{,}5}{\sqrt{1 — x}} + 2$;

Промежуток возрастания:

$2 — \frac{0{,}5}{\sqrt{1 — x}} \geq 0$;

$2\sqrt{1 — x} — \frac{1}{2} \geq 0$;

$4(1 — x) — \frac{1}{4} \geq 0$;

$4 — 4x — \frac{1}{4} \geq 0$;

$16 — 16x — 1 \geq 0$;

$15 \geq 16x$, отсюда $x \leq \frac{15}{16}$;

Выражение имеет смысл при:

$1 — x \geq 0$, отсюда $x \leq 1$;

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; \frac{15}{16} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{15}{16}; 1 \right]$.

в) $y = \sqrt{1 — 2x}$;

$y’ = (\sqrt{1 — 2x})’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}}$;

$\sqrt{1 — 2x} \geq 0$, значит $y’ < 0$ при любом значении $x$;

Выражение имеет смысл при:

$1 — 2x \geq 0$;

$1 \geq 2x$, отсюда $x \leq \frac{1}{2}$;

Ответ: убывает на $\left( -\infty; \frac{1}{2} \right]$.

г) $y = \sqrt{2x — 1} — x$;

$y’ = (\sqrt{2x — 1})’ — (x)’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} — 1 = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1$;

Промежуток возрастания:

$\frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1 \geq 0$;

$1 — \sqrt{2x — 1} \geq 0$;

$1 — (2x — 1) \geq 0$;

$1 — 2x + 1 \geq 0$;

$2 \geq 2x$, отсюда $x \leq 1$;

Выражение имеет смысл при:

$2x — 1 \geq 0$;

$2x \geq 1$, отсюда $x \geq \frac{1}{2}$;

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$ и убывает на $[1; +\infty)$.

а) $y = \sqrt{3x — 1}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция корня:

$$y = \sqrt{3x — 1} = (3x — 1)^{1/2}$$

По правилу производной степенной функции и цепного правила:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{3x — 1}} \cdot (3x — 1)’$$

Так как $(3x — 1)’ = 3$, то:

$$y’ = \frac{3}{2\sqrt{3x — 1}} = \frac{1{,}5}{\sqrt{3x — 1}}$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

• Корень $\sqrt{3x — 1} \geq 0$, определён при $3x — 1 \geq 0$
• При любом допустимом значении $x$, числитель $1{,}5 > 0$, а знаменатель $\sqrt{3x — 1} > 0$
• Значит, производная положительна:

  $$y’ > 0$$

Шаг 3: Найдём область определения

Подкоренное выражение:

$$3x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Делим на интервалы монотонности

• $y’ > 0$ при $x \geq \frac{1}{3}$, значит функция возрастает на этом промежутке

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{1}{3}; +\infty \right)$

б) $y = \sqrt{1 — x} + 2x$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = (\sqrt{1 — x})’ + (2x)’$$

Производная первого слагаемого (по цепному правилу):

$$(\sqrt{1 — x})’ = \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Производная второго слагаемого:

$$(2x)’ = 2$$

Сложим:

$$y’ = -\frac{1}{2\sqrt{1 — x}} + 2 = 2 — \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} = \frac{0{,}5}{\sqrt{1 — x}} + 2$$

Шаг 2: Определим промежутки возрастания и убывания

Чтобы найти, где функция возрастает, решим неравенство:

$$y’ = 2 — \frac{1}{2\sqrt{1 — x}} \geq 0$$

Умножим обе части на 2 (положительное число):

$$4 — \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \geq 0$$

Перенесём:

$$\frac{1}{\sqrt{1 — x}} \leq 4$$

Возьмём обратную дробь (обратим неравенство, так как дробь положительная):

$$\sqrt{1 — x} \geq \frac{1}{4}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1 — x \geq \frac{1}{16} \Rightarrow x \leq \frac{15}{16}$$

Шаг 3: Область определения

$$1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$$

Шаг 4: Делим на интервалы

• При $x \leq \frac{15}{16}$ — $y’ \geq 0$: возрастание
• При $\frac{15}{16} \leq x \leq 1$ — $y’ \leq 0$: убывание

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; \frac{15}{16} \right]$, убывает на $\left[ \frac{15}{16}; 1 \right]$

в) $y = \sqrt{1 — 2x}$

Шаг 1: Найдём производную

По формуле:

$$y = \sqrt{1 — 2x} = (1 — 2x)^{1/2}$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{1 — 2x}}$$

Шаг 2: Определим знак производной

• Знаменатель положителен при допустимых $x$
• Минус перед дробью:

  $$y’ < 0$$

Значит функция убывает.

Шаг 3: Область определения

$$1 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Вывод

На всей области определения $y’ < 0$ ⇒ функция убывает

Ответ: убывает на $\left( -\infty; \frac{1}{2} \right]$

г) $y = \sqrt{2x — 1} — x$

Шаг 1: Найдём производную

$$y’ = (\sqrt{2x — 1})’ — (x)’ = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot 2 — 1 = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Ищем, где функция возрастает:

$$\frac{1}{\sqrt{2x — 1}} — 1 \geq 0$$ $$\frac{1}{\sqrt{2x — 1}} \geq 1 \Rightarrow \sqrt{2x — 1} \leq 1$$

Возводим обе части:

$$2x — 1 \leq 1 \Rightarrow x \leq 1$$

Шаг 3: Область определения

$$2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Итог

Функция:

• возрастает на $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$
• убывает на $[1; +\infty)$

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$, убывает на $[1; +\infty)$